Identificar e representar graficamente as superfícies expressas pelas equações nos intervalos dados.
x=-4+y^22+z^2,-4 <= x <= 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar e desenhar graficamente a superfície definida pela equação no intervalo onde . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre tipos de superfícies no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada: . Essa equação relaciona as três coordenadas , e . Para identificar o tipo de superfície, vamos rearranjar a equação de forma mais familiar.

Passo 3

Rearranjando a equação, temos:
y^22 + z^2 = x + 4
Isso nos mostra que para cada valor de , a equação representa uma combinação de e .

Passo 4

Vamos comparar com a forma padrão das superfícies quadráticas. A equação se parece com a de um paraboloide, que pode ser elíptico ou hiperbólico dependendo dos coeficientes. Aqui, os termos e estão ambos positivos, o que indica que é um paraboloide elíptico.

Passo 5

Um paraboloide elíptico tem a forma geral:
x = a(y - y0)^2 + b(z - z0)^2 + c
No nosso caso, , , , , e . Isso confirma que a superfície é um paraboloide elíptico que se abre na direção positiva do eixo .

Passo 6

Agora, para representar graficamente essa superfície no intervalo , vamos considerar diferentes “fatias” de . Para cada valor de nesse intervalo, a equação representa uma elipse no plano .

Passo 7

Por exemplo:
  • Para y^22 + z^2 = 0 :
    y^22 + z^2 = 5
    O que representa apenas o ponto y^22 + z^2 = 9 .
  • Para :
    Isso desenha uma elipse maior no plano .
  • Para :
    Uma elipse ainda maior.

Passo 8

Assim, a representação gráfica será um paraboloide elíptico aberto para a direita, começando no ponto e se expandindo conforme aumenta até . As elipses ficam maiores conforme nos movemos nessa direção.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico que se abre na direção positiva do eixo , representado pela equação no intervalo . Graficamente, ela começa no ponto e se expande formando elipses maiores no plano conforme aumenta até 5.

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