Identificar e representar graficamente as superfícies expressas pelas equações nos intervalos dados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar e desenhar graficamente a superfície definida pela equação
no intervalo onde
. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre tipos de superfícies no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
. Essa equação relaciona as três coordenadas
,
e
. Para identificar o tipo de superfície, vamos rearranjar a equação de forma mais familiar.
Passo 3
Rearranjando a equação, temos:
Isso nos mostra que para cada valor de
, a equação representa uma combinação de
e
.
Passo 4
Vamos comparar com a forma padrão das superfícies quadráticas. A equação se parece com a de um paraboloide, que pode ser elíptico ou hiperbólico dependendo dos coeficientes. Aqui, os termos
e
estão ambos positivos, o que indica que é um paraboloide elíptico.
Passo 5
Um paraboloide elíptico tem a forma geral:
No nosso caso,
,
,
,
, e
. Isso confirma que a superfície é um paraboloide elíptico que se abre na direção positiva do eixo
.
Passo 6
Agora, para representar graficamente essa superfície no intervalo
, vamos considerar diferentes “fatias” de
. Para cada valor de
nesse intervalo, a equação
representa uma elipse no plano
.
Passo 7
Por exemplo:
-
Para
: O que representa apenas o ponto. -
Para
: Isso desenha uma elipse maior no plano. -
Para
: Uma elipse ainda maior.
Passo 8
Assim, a representação gráfica será um paraboloide elíptico aberto para a direita, começando no ponto
e se expandindo conforme
aumenta até
. As elipses ficam maiores conforme nos movemos nessa direção.
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico que se abre na direção positiva do eixo
, representado pela equação
no intervalo
. Graficamente, ela começa no ponto
e se expande formando elipses maiores no plano
conforme
aumenta até 5.
Exercícios relacionados
Obtenha uma equação vetorial para a reta
, concorrente com
e
nos seguintes casos:
e
e é paralela à reta determinada por
e
.
e
Identificar e representar graficamente as superfícies expressas pelas equações nos intervalos dados.
Dados os planos
e
, mostre que
se reduz a um ponto
. Determine-o.
Identificar a superfície
e a sua interseção com o plano
dado. Representar graficamente esta interseção no plano
.
e