Dados os planos pi1: x-y=0, pi2: x+z=0 e pi3: x-y+3 z+3=0, mostre que pi1 cap pi2 cap pi3 se reduz a um ponto A. Determine-o.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a interseção dos três planos pi1: x - y = 0, pi2: x + z = 0 e pi3: x - y + 3z + 3 = 0 resulta em um único ponto A. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica e Sistemas de Equações Lineares. Precisamos resolver as equações dos planos para encontrar as coordenadas desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações dos três planos para facilitar a resolução:
pi1: x - y = 0 pi2: x + z = 0 pi3: x - y + 3z + 3 = 0

Passo 3

Vamos começar simplificando a equação do primeiro plano, pi1. A equação x - y = 0 pode ser rearranjada para:
x = y
Isso nos diz que, no ponto de interseção, os valores de x e y são iguais.

Passo 4

Agora, olhamos para a equação do segundo plano, pi2: x + z = 0. Podemos rearranjá-la para encontrar z em termos de x:
z = -x
Então, no ponto de interseção, z é o negativo de x.

Passo 5

Com as expressões de y e z em termos de x, podemos substituir esses valores na equação do terceiro plano, pi3:
x - y + 3z + 3 = 0
Substituindo y = x e z = -x:
x - x + 3(-x) + 3 = 0
Simplificando:
0 - 3x + 3 = 0 -3x + 3 = 0

Passo 6

Agora, resolvemos para x:
-3x + 3 = 0 -3x = -3 x = 1

Passo 7

Com x = 1, podemos encontrar y e z usando as relações que já encontramos:
y = x = 1 z = -x = -1

Resposta

O ponto de interseção dos três planos é A = (1, 1, -1).

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