Dados os planos e , mostre que se reduz a um ponto . Determine-o.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a interseção dos três planos , e resulta em um único ponto . Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica e Sistemas de Equações Lineares. Precisamos resolver as equações dos planos para encontrar as coordenadas desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações dos três planos para facilitar a resolução:
Passo 3
Vamos começar simplificando a equação do primeiro plano, pi1. A equação x - y = 0 pode ser rearranjada para:
x = y
Isso nos diz que, no ponto de interseção, os valores de x e y são iguais.
Passo 4
Agora, olhamos para a equação do segundo plano, pi2: x + z = 0. Podemos rearranjá-la para encontrar z em termos de x:
z = -x
Então, no ponto de interseção, z é o negativo de x.
Passo 5
Com as expressões de y e z em termos de x, podemos substituir esses valores na equação do terceiro plano, pi3:
x - y + 3z + 3 = 0
Substituindo y = x e z = -x:
x - x + 3(-x) + 3 = 0
Simplificando:
0 - 3x + 3 = 0 -3x + 3 = 0
Passo 6
Agora, resolvemos para x:
-3x + 3 = 0 -3x = -3 x = 1
Passo 7
Com x = 1, podemos encontrar y e z usando as relações que já encontramos:
y = x = 1 z = -x = -1
Resposta
O ponto de interseção dos três planos é A = (1, 1, -1).