Obtenha equações paramétricas da reta que satisfaz as condições dadas.
48. A reta que é tangente à parábola y=x^2 no ponto (-2,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver! O exercício pede para encontrar as equações paramétricas da reta que é tangente à parábola no ponto . Para isso, vamos precisar usar cálculo para encontrar a derivada da parábola, que nos dá a inclinação da reta tangente, e depois usar essa inclinação junto com o ponto dado para montar as equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função dydx = 2x . A derivada de uma função nos mostra a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Então, derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto dydx|x=-2 = 2(-2) = -4 . Substituímos na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .

Passo 4

Com a inclinação x = -2 + t e o ponto y = 4 - 4t , podemos escrever as equações paramétricas da reta. Usamos um parâmetro, digamos , para expressar e em termos desse parâmetro:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = -2 + t
y = 4 - 4t

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