Obtenha equações paramétricas da reta que satisfaz as condições dadas.
48. A reta que é tangente à parábola no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver! O exercício pede para encontrar as equações paramétricas da reta que é tangente à parábola no ponto . Para isso, vamos precisar usar cálculo para encontrar a derivada da parábola, que nos dá a inclinação da reta tangente, e depois usar essa inclinação junto com o ponto dado para montar as equações paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada de uma função nos mostra a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Então, derivando em relação a :
Passo 3
Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .
Passo 4
Com a inclinação x = -2 + t e o ponto y = 4 - 4t , podemos escrever as equações paramétricas da reta. Usamos um parâmetro, digamos , para expressar e em termos desse parâmetro: