Obtenha a expressão para a massa
do íon que atinge a placa fotográfica a uma distância
da fenda de entrada em função dos parâmetros fornecidos pelo problema (
,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a expressão para a massa $ m $ de um íon que chega até a placa fotográfica a uma distância $ 2x $ da fenda de entrada. Nós vamos trabalhar com os parâmetros $ q $ (carga do íon), $ B $ (campo magnético), $ x $ e $ \Delta V $ (diferença de potencial). Para resolver isso, vamos precisar entender como um íon se move quando é acelerado por uma voltagem e depois desviado por um campo magnético. Basicamente, vamos usar conceitos de energia cinética e força magnética.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na parte da energia. Quando o íon é acelerado pela diferença de potencial $ \Delta V $, ele ganha energia cinética. A energia fornecida pela voltagem é dada por $ q \Delta V $, e essa energia se transforma na energia cinética do íon, que é $ \frac{1}{2} m v^2 $, onde $ v $ é a velocidade do íon. Assim, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade $ v $ em termos de $ m $:
Passo 4
Em seguida, consideramos o campo magnético $ B $. Quando o íon passa por um campo magnético perpendicular à sua velocidade, ele sofre uma força magnética que o faz seguir uma trajetória circular. A força magnética é dada por $ F = q v B $, e essa força também é igual à força centrípeta necessária para manter o movimento circular, que é $ F = \frac{m v^2}{r} $, onde $ r $ é o raio da trajetória circular. Igualando as duas expressões:
Passo 5
Podemos simplificar essa equação cancelando um $ v $ de cada lado:
E resolvendo para $ r $:
Passo 6
Sabemos que a distância $ 2x $ é o deslocamento lateral do íon na placa fotográfica. Esse deslocamento está relacionado ao raio da trajetória circular. Se considerarmos que o íon completa um quarto de círculo até atingir a placa (o que é comum nesse tipo de problema), então $ r = 2x $. Assim:
Passo 7
Agora, vamos substituir a expressão de $ v $ que encontramos no Passo 3:
Passo 8
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, simplificamos os $ m $ e $ q $:
Passo 9
Agora, vamos isolar $ m $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ q B $:
Em seguida, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 10
Finalmente, resolvemos para $ m $:
Resposta
A massa do íon é dada por