Obtenha a expressão para a massa m do íon que atinge a placa fotográfica a uma distância 2 x da fenda de entrada em função dos parâmetros fornecidos pelo problema ( q, B, x, De.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a expressão para a massa $ m $ de um íon que chega até a placa fotográfica a uma distância $ 2x $ da fenda de entrada. Nós vamos trabalhar com os parâmetros $ q $ (carga do íon), $ B $ (campo magnético), $ x $ e $ \Delta V $ (diferença de potencial). Para resolver isso, vamos precisar entender como um íon se move quando é acelerado por uma voltagem e depois desviado por um campo magnético. Basicamente, vamos usar conceitos de energia cinética e força magnética.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na parte da energia. Quando o íon é acelerado pela diferença de potencial $ \Delta V $, ele ganha energia cinética. A energia fornecida pela voltagem é dada por $ q \Delta V $, e essa energia se transforma na energia cinética do íon, que é $ \frac{1}{2} m v^2 $, onde $ v $ é a velocidade do íon. Assim, podemos escrever:
De

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade $ v $ em termos de $ m $:
v

Passo 4

Em seguida, consideramos o campo magnético $ B $. Quando o íon passa por um campo magnético perpendicular à sua velocidade, ele sofre uma força magnética que o faz seguir uma trajetória circular. A força magnética é dada por $ F = q v B $, e essa força também é igual à força centrípeta necessária para manter o movimento circular, que é $ F = \frac{m v^2}{r} $, onde $ r $ é o raio da trajetória circular. Igualando as duas expressões:
B

Passo 5

Podemos simplificar essa equação cancelando um $ v $ de cada lado:
v
E resolvendo para $ r $:
q B = m vr

Passo 6

Sabemos que a distância $ 2x $ é o deslocamento lateral do íon na placa fotográfica. Esse deslocamento está relacionado ao raio da trajetória circular. Se considerarmos que o íon completa um quarto de círculo até atingir a placa (o que é comum nesse tipo de problema), então $ r = 2x $. Assim:
2x

Passo 7

Agora, vamos substituir a expressão de $ v $ que encontramos no Passo 3:
v

Passo 8

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, simplificamos os $ m $ e $ q $:
m
q
2x = mq B cdot raiz2 q De

Passo 9

Agora, vamos isolar $ m $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ q B $:
m
Em seguida, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
q B

Passo 10

Finalmente, resolvemos para $ m $:
m

Resposta

A massa do íon é dada por
m = 2 x^2 q B^2De

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