O potencial de uma carga puntiforme q a uma distância radial r é dado por:
V=14 pi epsilon0 qr
Calcule o vetor do campo elétrico a partir dessa expressão de V.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre eletrostática! A gente tem o potencial elétrico de uma carga pontual dado por $ V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q}{r} $. Nosso objetivo aqui é calcular o vetor campo elétrico a partir dessa expressão de $ V $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e como elas se aplicam no contexto do campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a relação entre o potencial elétrico $ V $ e o campo elétrico $ \vec{E} $. O campo elétrico é relacionado ao potencial elétrico pela equação:
V
Isso significa que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial elétrico. O gradiente é uma operação que nos dá a taxa de variação de uma função em todas as direções. No nosso caso, como o potencial $ V $ depende apenas da distância radial $ r $ da carga pontual, podemos simplificar o cálculo do gradiente para coordenadas esféricas.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, o gradiente de uma função que depende só de $ r $ é dado por:
r
Aqui, $ \hat{r} $ é o versor na direção radial. Então, para encontrar $ \vec{E} $, vamos derivar $ V $ em relação a $ r $ e multiplicar por $ -1 $:
nabla V = dVdr r

Passo 4

Vamos agora derivar $ V $ em relação a $ r $. Temos:
V
Derivando em relação a $ r $:
r

Passo 5

Substituindo a derivada que encontramos na expressão do campo elétrico:
E = -( -14 pi epsilon0 qr^2 ) r
Os sinais negativos se cancelam, então temos:
E = 14 pi epsilon0 qr^2 r

Resposta

O vetor do campo elétrico é dado por:
E = 14 pi epsilon0 qr^2 r

Exercícios relacionados