O potencial de uma carga puntiforme
a uma distância radial
é dado por:
Calcule o vetor do campo elétrico a partir dessa expressão de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre eletrostática! A gente tem o potencial elétrico de uma carga pontual dado por $ V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q}{r} $. Nosso objetivo aqui é calcular o vetor campo elétrico a partir dessa expressão de $ V $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e como elas se aplicam no contexto do campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a relação entre o potencial elétrico $ V $ e o campo elétrico $ \vec{E} $. O campo elétrico é relacionado ao potencial elétrico pela equação:
Isso significa que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial elétrico. O gradiente é uma operação que nos dá a taxa de variação de uma função em todas as direções. No nosso caso, como o potencial $ V $ depende apenas da distância radial $ r $ da carga pontual, podemos simplificar o cálculo do gradiente para coordenadas esféricas.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, o gradiente de uma função que depende só de $ r $ é dado por:
Aqui, $ \hat{r} $ é o versor na direção radial. Então, para encontrar $ \vec{E} $, vamos derivar $ V $ em relação a $ r $ e multiplicar por $ -1 $:
Passo 4
Vamos agora derivar $ V $ em relação a $ r $. Temos:
Derivando em relação a $ r $:
Passo 5
Substituindo a derivada que encontramos na expressão do campo elétrico:
Os sinais negativos se cancelam, então temos:
Resposta
O vetor do campo elétrico é dado por: