Obtenha uma expressão para V(z), o potencial elétrico em um ponto qualquer do eixo central.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma expressão para , que é o potencial elétrico em qualquer ponto ao longo do eixo central. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a lei de Coulomb e o princípio da superposição de potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a configuração que estamos analisando. Geralmente, quando falamos sobre o potencial em um eixo central, estamos lidando com uma distribuição simétrica de carga, como um anel carregado. Supondo que temos um anel de raio com carga total , queremos achar o potencial em um ponto a uma distância ao longo do eixo que passa pelo centro do anel.

Passo 3

Sabemos que o potencial elétrico V = kQr devido a uma carga pontual é dado por:
onde é a constante eletrostática, é a carga e é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.

Passo 4

No caso do anel, cada pequeno elemento de carga dV = k , dqraizR^2 + z^2 no anel contribui com um potencial V(z) = integral dV = integral k , dqraizR^2 + z^2 = kraizR^2 + z^2 integral dq no ponto V(z) = kQraizR^2 + z^2 a uma distância ao longo do eixo central. A distância do elemento até o ponto é, pela geometria, . Então, o potencial devido a é:
Como o anel é simétrico, a contribuição de todos os elementos de carga será a mesma, e podemos integrar ao redor do anel:
A integral de ao redor do anel é simplesmente a carga total :

Resposta

A expressão para o potencial elétrico V(z) = kQraizR^2 + z^2 no ponto qualquer do eixo central é:

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