Obtenha o maior subconjunto do R^2 ou R^3, no qual a função f(x, y) = { (x * y^4) / (x^2 + y^8) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) } é contínua

Passo 1

Vamos resolver um exercício de continuidade de funções. A questão pede para encontrarmos o maior subconjunto de ou onde a função
é contínua. Para isso, precisamos entender o que é continuidade e como verificar se uma função é contínua em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. Esse limite é igual a .
No nosso caso, a função está definida para todos os pontos de , mas queremos verificar a continuidade no ponto .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Se esse limite for igual a , então a função é contínua em . Caso contrário, não é.

Passo 4

Para calcular esse limite, podemos analisar diferentes caminhos de aproximação para . Se obtivermos limites diferentes em caminhos distintos, isso significa que o limite geral não existe.
Vamos considerar dois caminhos:
  1. Caminho 1:
    Substituindo na função:
    Então, o limite ao longo desse caminho é 0.
  2. Caminho 2:
    Substituindo na função:
    Então, o limite ao longo desse caminho é .

Passo 5

Como obtivemos limites diferentes ( e ) ao aproximar de por caminhos distintos, concluímos que o limite geral não existe. Portanto, a função não é contínua no ponto .

Passo 6

Já que a função é contínua em todos os pontos de exceto possivelmente em , e verificamos que ela não é contínua nesse ponto, o maior subconjunto de onde a função é contínua é sem o ponto .

Resposta

O maior subconjunto de no qual a função é contínua é .

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