Obtenha o maior subconjunto do
ou
, no qual a função
é contínua
Passo 1
Vamos resolver um exercício de continuidade de funções. A questão pede para encontrarmos o maior subconjunto de
ou
onde a função
é contínua. Para isso, precisamos entender o que é continuidade e como verificar se uma função é contínua em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua no ponto
se:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - Esse limite é igual a
.
No nosso caso, a função está definida para todos os pontos de
, mas queremos verificar a continuidade no ponto
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Se esse limite for igual a
, então a função é contínua em
. Caso contrário, não é.
Passo 4
Para calcular esse limite, podemos analisar diferentes caminhos de aproximação para
. Se obtivermos limites diferentes em caminhos distintos, isso significa que o limite geral não existe.
Vamos considerar dois caminhos:
-
Caminho 1:Substituindo na função:Então, o limite ao longo desse caminho é 0.
-
Caminho 2:Substituindo na função:Então, o limite ao longo desse caminho é
.
Passo 5
Como obtivemos limites diferentes (
e
) ao aproximar
de
por caminhos distintos, concluímos que o limite geral não existe. Portanto, a função não é contínua no ponto
.
Passo 6
Já que a função
é contínua em todos os pontos de
exceto possivelmente em
, e verificamos que ela não é contínua nesse ponto, o maior subconjunto de
onde a função é contínua é
sem o ponto
.
Resposta
O maior subconjunto de
no qual a função
é contínua é
.
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ou
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