Encontre e esboce o domínio da função dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar e esboçar o domínio da função
. Isso envolve entender onde essa função está definida, ou seja, para quais valores de
e
a expressão dá um resultado válido. Vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e condições de existência de expressões matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que impõem restrições ao domínio. Temos duas partes principais:
-
: A raiz quadrada só é definida para números maiores ou iguais a zero. Então, precisamos que . -
: A divisão por zero não é permitida, então .
Passo 3
Vamos separar essas condições:
-
Condição da raiz quadrada:Isso representa um círculo com raio 5 centrado na origem no plano
. -
Condição do denominador:Isso significa que não podemos ter pontos onde
, ou seja, a linha (eixo ) está excluída do domínio.
Passo 4
Agora, juntando as duas condições:
- Os pontos
devem estar dentro ou na borda do círculo . - Além disso,
não pode ser zero, então removemos todos os pontos sobre o eixo dentro desse círculo.
Passo 5
Para esboçar o domínio:
- Desenhe um círculo com raio 5 centrado na origem.
- Identifique e trace a linha
(eixo ). - O domínio será todo o interior e a borda do círculo, exceto os pontos sobre o eixo
.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
no plano onde
e
. Graficamente, isso corresponde ao interior e à borda de um círculo de raio 5 centrado na origem, excluindo todos os pontos que estão sobre o eixo
.
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ou
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Calcule
Nos problemas 21-26, resolva os problemas de valor inicial dados.