Obtenha o polinômio que interpola os pontos (0, 2), (3, 7) e (10, -2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio que passa exatamente pelos pontos
,
e
. A matéria que vamos usar aqui é Interpolação de Polinômios, que permite encontrar um polinômio que se ajusta perfeitamente a um conjunto de pontos dados. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes do polinômio usando os pontos fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que o polinômio que estamos procurando é de grau 2, ou seja, tem a forma geral:
Aqui,
,
e
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Sabemos que o polinômio deve passar pelos três pontos dados. Isso significa que, ao substituirmos
pelas coordenadas desses pontos no polinômio, o resultado deve ser igual à coordenada
correspondente. Vamos escrever isso para cada ponto:
- Para o ponto
:
Então, já sabemos que
- Para o ponto
:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
- Para o ponto
:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 5
Podemos simplificar a Equação 1 dividindo tudo por 3:
Agora, vamos substituir
na Equação 2:
Passo 6
Vamos isolar
:
Primeiro, vamos converter
Então:
Simplificando:
Passo 7
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a Equação 3:
Para somar, vamos encontrar o denominador comum, que é 105:
Passo 8
Agora, temos todos os coeficientes:
Então, o polinômio que interpola os pontos dados é: