Obtenha o polinômio que interpola os pontos (0, 2), (3, 7) e (10, -2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio que passa exatamente pelos pontos (0, 2), (3, 7) e (10, -2). A matéria que vamos usar aqui é Interpolação de Polinômios, que permite encontrar um polinômio que se ajusta perfeitamente a um conjunto de pontos dados. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes do polinômio usando os pontos fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que o polinômio que estamos procurando é de grau 2, ou seja, tem a forma geral:
P(x) = ax^2 + bx + c
Aqui, a, b e c são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabemos que o polinômio deve passar pelos três pontos dados. Isso significa que, ao substituirmos x pelas coordenadas desses pontos no polinômio, o resultado deve ser igual à coordenada y correspondente. Vamos escrever isso para cada ponto:
  1. Para o ponto (0, 2):
2 = a(0)^2 + b(0) + c
2 = c
Então, já sabemos que c = 2.
  1. Para o ponto (3, 7):
7 = a(3)^2 + b(3) + 2
7 = 9a + 3b + 2
Subtraindo 2 de ambos os lados:
5 = 9a + 3b
9a + 3b = 5 (Equação 1)
  1. Para o ponto (10, -2):
-2 = a(10)^2 + b(10) + 2
-2 = 100a + 10b + 2
Subtraindo 2 de ambos os lados:
-4 = 100a + 10b
100a + 10b = -4 (Equação 2)

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. 9a + 3b = 5
  2. 100a + 10b = -4
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a e b.

Passo 5

Podemos simplificar a Equação 1 dividindo tudo por 3:
3a + b = 53
b = 53 - 3a (Equação 3)
Agora, vamos substituir b na Equação 2:
100a + 10(53 - 3a) = -4
100a + 503 - 30a = -4
(100a - 30a) + 503 = -4
70a + 503 = -4

Passo 6

Vamos isolar a:
70a = -4 - 503
Primeiro, vamos converter -4 para ter o mesmo denominador:
-4 = -123
Então:
70a = -123 - 503
70a = -623
a = -623 div 70
a = -62210
Simplificando:
a = -31105

Passo 7

Agora que temos a, podemos encontrar b usando a Equação 3:
b = 53 - 3(-31105)
b = 53 + 93105
b = 53 + 3135
Para somar, vamos encontrar o denominador comum, que é 105:
b = 175105 + 93105
b = 268105

Passo 8

Agora, temos todos os coeficientes:
a = -31105
b = 268105
c = 2
Então, o polinômio que interpola os pontos dados é:

Resposta

P(x) = -31105x^2 + 268105x + 2

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