Obtenha o polinômio quadrático mais próximo do conjunto de pontos (1,43), (2,47), 3,53 e (4,61).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio quadrático que melhor se ajusta aos pontos , , e . Isso está relacionado ao estudo de ajuste de curvas e mínimos quadrados na matemática. Para isso, vamos precisar montar um sistema de equações que nos ajude a determinar os coeficientes do polinômio quadrático.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio quadrático tem a forma geral:
Onde , e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos substituir cada um dos pontos no polinômio para criar um sistema de equações:
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, temos um sistema de 4 equações com 3 incógnitas:
Como temos mais equações do que incógnitas, vamos usar o método dos mínimos quadrados para encontrar a melhor solução que minimiza o erro.

Passo 5

Para aplicar os mínimos quadrados, montamos as equações normais. Isso envolve somar os produtos das diferenças pelas potências de . Mas de forma simplificada, resolveremos o sistema da melhor maneira possível.
Podemos resolver subtraindo as equações para eliminar . Vamos fazer isso:
Subtraindo a 1ª equação da 2ª:
çã
Subtraindo a 2ª da 3ª:
çã
Subtraindo a 3ª da 4ª:
çã

Passo 6

Agora, temos um sistema mais simples:
çãçãçã
Vamos resolver as Equações 5 e 6:
Subtraindo a Equação 5 da Equação 6:
Agora, substituindo na Equação 5:

Passo 7

Com e , vamos encontrar usando a 1ª equação:

Resposta

O polinômio quadrático mais próximo é:
Ou simplesmente:

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