Dados os pontos 0,2; 1,4 e (3, 10); use o polinômio interpolador de Lagrange, e determine o polinômio quadrático que passa por eles.

Passo 1

Beleza, então a gente tem três pontos: 0,2, 1,4 e (3, 10). A tarefa é encontrar um polinômio quadrático que passa por esses pontos usando o Polinômio Interpolador de Lagrange. Para isso, a gente vai precisar entender como funciona a interpolação de Lagrange e aplicar as fórmulas corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Polinômio de Lagrange. Ele é uma maneira de construir um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. No nosso caso, como são três pontos, o polinômio será de grau 2 (quadrático).

Passo 3

O polinômio de Lagrange é dado por:
onde cada é chamado de polinômio base de Lagrange e é calculado por:
Nesse caso, temos porque temos três pontos.

Passo 4

Vamos calcular cada 0,2 para os pontos dados.
Para (ponto 1,4):
Para (3, 10) (ponto ):
Para (ponto ):

Passo 5

Agora que temos os , vamos montar o polinômio :
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:

Passo 7

Agora somamos todos os termos:
Vamos juntar as frações:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 8

Vamos combinar os termos quadráticos e lineares:
Calculando cada parte:
  1. Quadráticos:
  1. Lineares:
  1. Constante:

Passo 9

Juntando tudo, o polinômio fica:
Podemos fatorar o denominador 3:

Resposta

O polinômio quadrático que passa pelos pontos 0,2, 1,4 e (3, 10) é:

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