Dados os pontos
;
e
; use o polinômio interpolador de Lagrange, e determine o polinômio quadrático que passa por eles.
Passo 1
Beleza, então a gente tem três pontos:
,
e
. A tarefa é encontrar um polinômio quadrático que passa por esses pontos usando o Polinômio Interpolador de Lagrange. Para isso, a gente vai precisar entender como funciona a interpolação de Lagrange e aplicar as fórmulas corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Polinômio de Lagrange. Ele é uma maneira de construir um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. No nosso caso, como são três pontos, o polinômio será de grau 2 (quadrático).
Passo 3
O polinômio de Lagrange é dado por:
onde cada
é chamado de polinômio base de Lagrange e é calculado por:
Nesse caso, temos
porque temos três pontos.
Passo 4
Vamos calcular cada
para os pontos dados.
Para
(ponto
):
Para
(ponto
):
Para
(ponto
):
Passo 5
Agora que temos os
, vamos montar o polinômio
:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 7
Agora somamos todos os termos:
Vamos juntar as frações:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 8
Vamos combinar os termos quadráticos e lineares:
Calculando cada parte:
- Quadráticos:
- Lineares:
- Constante:
Passo 9
Juntando tudo, o polinômio fica:
Podemos fatorar o denominador 3:
Resposta
O polinômio quadrático que passa pelos pontos
,
e
é: