Determine os seguintes limites para a função:
l lim x 0^- f(x) lim x 0 f(x) lim x infty f(x) lim x -infty f(x)
h(x)=-x^4x^4-7 x^3+7 x^2+9

Passo 1

Beleza, vamos entender o que precisa ser feito aqui. Temos que calcular quatro limites da função . Os limites que vamos encontrar são:
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites, especialmente sobre funções racionais (frações onde o numerador e o denominador são polinômios) e como elas se comportam quando se aproxima de certos valores ou vai para o infinito.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro limite: h(x) = -x^4x^4 -7x^3+7x^2+9 .
Aqui, lim x 0^- h(x) = 09 = 0 está se aproximando de 0 pela esquerda, ou seja, valores negativos próximos de 0. Vamos analisar a função:
Quando está bem perto de 0:
  • tende a 0
  • também tende a 0
  • tende a 0
  • O 9 no denominador permanece constante
Então, o denominador fica próximo de 9 e o numerador fica próximo de 0. Assim:

Passo 3

Agora, vamos calcular h(0) = -0^40^4 -7 cdot 0^3+7 cdot 0^2+9 = 09 = 0 .
Esse limite considera lim x 0 h(x) = 0 se aproximando de 0 tanto pela esquerda quanto pela direita. Mas, do jeito que a função está, não há diferença no comportamento dos limites laterais. Então, o raciocínio é o mesmo do passo anterior.
Substituindo por 0:
Portanto:

Passo 4

Vamos para o terceiro limite: lim x infty h(x) = -11 = -1 .
Quando vai para o infinito, o comportamento das funções polinomiais é dominado pelo termo de maior grau. Aqui, tanto no numerador quanto no denominador, o termo de maior grau é .
A regra é: se os graus do numerador e do denominador são iguais, o limite é a divisão dos coeficientes desses termos.
Na nossa função:
  • Coeficiente do no numerador: -1
  • Coeficiente do no denominador: 1
Então:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular h(x) = -x^4x^4 -7x^3+7x^2+9 .
Quando lim x -infty h(x) = -11 = -1 vai para menos infinito, a análise é semelhante ao caso de indo para positivo infinito, especialmente porque os termos com potências pares de (como e ) permanecem positivos, independentemente do sinal de .
Novamente, os termos de maior grau dominam:
Os coeficientes são os mesmos:
  • Numerador: -1
  • Denominador: 1
Portanto:

Resposta

lim x 0^- h(x) &= 0 lim x 0 h(x) &= 0 lim x infty h(x) &= -1 lim x -infty h(x) &= -1

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