Determine os seguintes limites para a função:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que precisa ser feito aqui. Temos que calcular quatro limites da função
. Os limites que vamos encontrar são:
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites, especialmente sobre funções racionais (frações onde o numerador e o denominador são polinômios) e como elas se comportam quando
se aproxima de certos valores ou vai para o infinito.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro limite:
.
Aqui,
está se aproximando de 0 pela esquerda, ou seja, valores negativos próximos de 0. Vamos analisar a função:
Quando
está bem perto de 0:
-
tende a 0 -
também tende a 0 -
tende a 0 - O 9 no denominador permanece constante
Então, o denominador fica próximo de 9 e o numerador fica próximo de 0. Assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular
.
Esse limite considera
se aproximando de 0 tanto pela esquerda quanto pela direita. Mas, do jeito que a função está, não há diferença no comportamento dos limites laterais. Então, o raciocínio é o mesmo do passo anterior.
Substituindo
por 0:
Portanto:
Passo 4
Vamos para o terceiro limite:
.
Quando
vai para o infinito, o comportamento das funções polinomiais é dominado pelo termo de maior grau. Aqui, tanto no numerador quanto no denominador, o termo de maior grau é
.
A regra é: se os graus do numerador e do denominador são iguais, o limite é a divisão dos coeficientes desses termos.
Na nossa função:
- Coeficiente do
no numerador: -1 - Coeficiente do
no denominador: 1
Então:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular
.
Quando
vai para menos infinito, a análise é semelhante ao caso de
indo para positivo infinito, especialmente porque os termos com potências pares de
(como
e
) permanecem positivos, independentemente do sinal de
.
Novamente, os termos de maior grau dominam:
Os coeficientes são os mesmos:
- Numerador: -1
- Denominador: 1
Portanto: