Obtenha o ponto de interseção entre as retas de equações:
a) 2x-y+6 = 0 e 2x+3y-6=0
b) x+y-2=0 e 3x-y+4=0
c) x-2y=0 e x+y-1=0

Passo 1

Pra resolver esse exercício, a gente precisa achar onde duas retas se cruzam, ou seja, o ponto que satisfaz as duas equações das retas ao mesmo tempo. Isso envolve resolver um sistema de equações lineares. Vamos usar o método de substituição ou eliminação para encontrar os valores de $ x $ e $ y $.

Passo 2

Vamos começar resolvendo o item a):
As equações das retas são:
2x - y + 6 = 0 (1)
2x + 3y - 6 = 0 (2)
Primeiro, vamos isolar uma das variáveis na equação (1). Vamos isolar $ y $:
y
Agora que temos $ y $ em termos de $ x $, vamos substituir isso na equação (2):
2x - y + 6 = 0 Rightarrow -y = -2x - 6 Rightarrow y = 2x + 6
Expandindo:
y
Isolando $ x $:
x
Agora que temos $ x $, substituímos de volta na expressão para $ y $:
2x + 3(2x + 6) - 6 = 0

Passo 3

Agora, vamos para o item b). As equações das retas são:
x + y - 2 = 0 (3)
3x - y + 4 = 0 (4)
Vamos novamente usar o método de substituição. Primeiro, vamos isolar $ y $ na equação (3):
y
Substituindo $ y $ na equação (4):
x + y - 2 = 0 Rightarrow y = 2 - x
Simplificando:
y
Isolando $ x $:
3x - (2 - x) + 4 = 0
Agora substituímos $ x $ de volta na expressão para $ y $:
3x - 2 + x + 4 = 0 Rightarrow 4x + 2 = 0

Passo 4

Finalmente, vamos resolver o item c). As equações das retas são:
x - 2y = 0 (5)
x + y - 1 = 0 (6)
Vamos usar o método de substituição novamente. Pela equação (5), podemos isolar $ x $:
x
Substituindo $ x $ na equação (6):
x = 2y
Isolando $ y $:
x
Agora substituímos $ y $ de volta na expressão para $ x $:
2y + y - 1 = 0 Rightarrow 3y - 1 = 0

Resposta

O ponto de interseção das retas é $ \left(\frac{2}{3},\ \frac{1}{3}\right) $.

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