Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza a metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão, onde A é a massa inicial e k uma constante negativa. Considere 0,3 como aproximação para log₁₀2. Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um problema sobre decaimento radioativo, mais especificamente do césio-137. A gente sabe que a meia-vida desse material é de 30 anos, ou seja, em 30 anos, a quantidade de césio reduz pela metade. A questão pede para descobrir quanto tempo leva para essa quantidade cair para 10% do valor inicial. Para resolver, vamos usar a fórmula do decaimento exponencial e alguns conceitos de logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula que calcula a quantidade de material radioativo restante após um certo tempo:
Aqui, $ A(t) $ é a quantidade após $ t $ anos, $ A_0 $ é a quantidade inicial, e $ k $ é uma constante negativa que está relacionada à meia-vida.
Passo 3
Sabemos que a meia-vida ($ T_{1/2} $) é o tempo necessário para que a quantidade inicial se reduza à metade. Então, quando $ t = 30 $ anos, $ A(t) = \frac{A_0}{2} $. Vamos usar isso para encontrar o valor de $ k $:
Passo 4
Dividindo ambos os lados por $ A_0 $ para simplificar, temos:
Agora, para resolver para $ k $, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Sabemos que $ \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2) $, então:
Passo 5
Agora que temos $ k $, vamos voltar à fórmula original para encontrar o tempo $ t $ quando a quantidade for 10% do inicial:
Dividindo ambos os lados por $ A_0 $:
Passo 6
Para resolver para $ t $, tiramos o logaritmo natural dos dois lados:
Sabemos que $ \ln(0,1) = -\ln(10) $, então:
Substituindo $ k $ que encontramos:
Passo 7
Simplificando os sinais negativos:
Agora, isolamos $ t $:
Passo 8
Sabemos que $ \ln(10) = \log_{10}e \times \ln(10) $, mas vamos usar uma aproximação para facilitar. Dado que $ \log_{10}(2) \approx 0,3 $, podemos usar a relação:
E $ \ln(2) \approx 0,6931 $. Então:
Resposta
Portanto, são necessários aproximadamente 100 anos para que a quantidade de césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial.