Prove que o conjunto das funções diferenciáveis definidas na reta é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o conjunto das funções diferenciáveis definidas na reta é um espaço vetorial. Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente ao conceito de espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as propriedades que esse conjunto de funções deve satisfazer para ser considerado um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, que podem ser somados entre si e multiplicados por escalar (números reais, por exemplo), obedecendo a certas propriedades específicas, como associatividade, comutatividade da adição, existência de elemento neutro e inverso, entre outras.

Passo 3

Agora, vamos considerar o conjunto das funções diferenciáveis definidas na reta. Essas funções são aquelas que têm derivadas em todos os pontos da reta real. Vamos verificar se esse conjunto, com as operações de adição de funções e multiplicação por escalar, satisfaz as propriedades de um espaço vetorial.

Passo 4

Propriedade 1: Fechamento pela adição
Sejam e funções diferenciáveis. A soma é definida como . Como e são diferenciáveis, a soma também é diferenciável, pois a derivada de é , que existe. Portanto, o conjunto está fechado pela adição.

Passo 5

Propriedade 2: Fechamento pela multiplicação por escalar
Seja uma função diferenciável e um escalar real. A multiplicação é definida como . A derivada de é , que existe já que existe. Assim, também é diferenciável, o que mostra que o conjunto está fechado pela multiplicação por escalar.

Passo 6

Propriedade 3: Associatividade da adição
Para quaisquer funções diferenciáveis (f + g) + h = f + (g + h) , e , temos:
A adição de funções é associativa porque a soma de valores em cada ponto é associativa.

Passo 7

Propriedade 4: Comutatividade da adição
Para quaisquer funções diferenciáveis f + g = g + f e :
A ordem das funções na soma não altera o resultado, pois a adição de números reais é comutativa.

Passo 8

Propriedade 5: Elemento neutro da adição
Existe uma função f + 0 = f definida por para todo . Para qualquer função diferenciável :
A função zero é diferenciável, já que sua derivada também é zero.

Passo 9

Propriedade 6: Elemento inverso da adição
Para cada função diferenciável f + (-f) = 0 , existe uma função definida por . Então:
A função também é diferenciável, pois sua derivada é .

Passo 10

Propriedade 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de funções
Para qualquer escalar c cdot (f + g) = c cdot f + c cdot g e funções diferenciáveis e :
Isso é válido porque a multiplicação por escalar distribui sobre a soma de funções ponto a ponto.

Passo 11

Propriedade 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Para quaisquer escalares (a + b) cdot f = a cdot f + b cdot f e e função diferenciável :
Isso ocorre porque a soma dos escalares multiplica cada função individualmente.

Passo 12

Propriedade 9: Associatividade da multiplicação por escalar
Para quaisquer escalares a cdot (b cdot f) = (a cdot b) cdot f e e função diferenciável :
A ordem das multiplicações escalares não altera o resultado.

Passo 13

Propriedade 10: Elemento neutro da multiplicação por escalar
Existe o escalar 1 cdot f = f tal que, para qualquer função diferenciável :
Multiplicar por 1 não altera a função.

Resposta

Como verificamos todas as propriedades necessárias, podemos concluir que o conjunto das funções diferenciáveis definidas na reta, com operações de adição e multiplicação por escalar, forma de fato um espaço vetorial.

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