Prove que o conjunto das funções diferenciáveis definidas na reta é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o conjunto das funções diferenciáveis definidas na reta é um espaço vetorial. Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente ao conceito de espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as propriedades que esse conjunto de funções deve satisfazer para ser considerado um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, que podem ser somados entre si e multiplicados por escalar (números reais, por exemplo), obedecendo a certas propriedades específicas, como associatividade, comutatividade da adição, existência de elemento neutro e inverso, entre outras.
Passo 3
Agora, vamos considerar o conjunto das funções diferenciáveis definidas na reta. Essas funções são aquelas que têm derivadas em todos os pontos da reta real. Vamos verificar se esse conjunto, com as operações de adição de funções e multiplicação por escalar, satisfaz as propriedades de um espaço vetorial.
Passo 4
Propriedade 1: Fechamento pela adição
Sejam
e
funções diferenciáveis. A soma
é definida como
. Como
e
são diferenciáveis, a soma
também é diferenciável, pois a derivada de
é
, que existe. Portanto, o conjunto está fechado pela adição.
Passo 5
Propriedade 2: Fechamento pela multiplicação por escalar
Seja
uma função diferenciável e
um escalar real. A multiplicação
é definida como
. A derivada de
é
, que existe já que
existe. Assim,
também é diferenciável, o que mostra que o conjunto está fechado pela multiplicação por escalar.
Passo 6
Propriedade 3: Associatividade da adição
Para quaisquer funções diferenciáveis
,
e
, temos:
A adição de funções é associativa porque a soma de valores em cada ponto
é associativa.
Passo 7
Propriedade 4: Comutatividade da adição
Para quaisquer funções diferenciáveis
e
:
A ordem das funções na soma não altera o resultado, pois a adição de números reais é comutativa.
Passo 8
Propriedade 5: Elemento neutro da adição
Existe uma função
definida por
para todo
. Para qualquer função diferenciável
:
A função zero é diferenciável, já que sua derivada também é zero.
Passo 9
Propriedade 6: Elemento inverso da adição
Para cada função diferenciável
, existe uma função
definida por
. Então:
A função
também é diferenciável, pois sua derivada é
.
Passo 10
Propriedade 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de funções
Para qualquer escalar
e funções diferenciáveis
e
:
Isso é válido porque a multiplicação por escalar distribui sobre a soma de funções ponto a ponto.
Passo 11
Propriedade 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Para quaisquer escalares
e
e função diferenciável
:
Isso ocorre porque a soma dos escalares multiplica cada função individualmente.
Passo 12
Propriedade 9: Associatividade da multiplicação por escalar
Para quaisquer escalares
e
e função diferenciável
:
A ordem das multiplicações escalares não altera o resultado.
Passo 13
Propriedade 10: Elemento neutro da multiplicação por escalar
Existe o escalar
tal que, para qualquer função diferenciável
:
Multiplicar por 1 não altera a função.
Resposta
Como verificamos todas as propriedades necessárias, podemos concluir que o conjunto das funções diferenciáveis definidas na reta, com operações de adição e multiplicação por escalar, forma de fato um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos vetores de
tais que a soma das suas componentes se anula.
Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos vetores de
com componentes inteiras.
Obtenha os pontos da reta
que equidistam de
e
, onde:
a) e
.
b) e
.
a)
b)
Obtenha os pontos da reta
que equidistam das retas
e
, onde: