Obtenha os seguintes desenvolvimentos dados, indicando, em cada caso, o domínio de convergência da série:
log (1+x)=x-x^22+x^33-ldots=sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn.

Passo 1

Beleza, temos que expandir a função log(1+x) em uma série e descobrir para quais valores de essa série funciona, ou seja, onde ela converge. Vamos usar conceitos de séries de potências e análise de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor da função log(1+x) centrada em 0 é dada por:
log(1+x) = x - x^22 + x^33 - x^44 + ldots = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn
Essa série alternada é obtida expandindo a função em torno de .

Passo 3

Para encontrar o domínio de convergência dessa série, precisamos verificar para quais valores de a série realmente soma um valor finito. Uma maneira comum de fazer isso é usando o Teste da Razão.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, analisamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
onde | an+1an | = | (-1)^(n+1)+1 x^n+1/(n+1)(-1)^n+1 x^n/n | = | x^n+1n+1 cdot nx^n | = | n cdot xn+1 | = |x| cdot nn+1 . Então:
L = |x|
Quando tende ao infinito, tende a 1. Então:

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, a série converge se |x| < 1 , ou seja:
Isso significa que a série converge para todos os no intervalo aberto .

Passo 6

Além disso, precisamos verificar os pontos limites sumn=1^infty (-1)^n+1n e sumn=1^infty 1n .
  • Para :
    A série se torna:
    Essa é a série alternada harmônica, que converge pelo Teste da Série Alternada.
  • Para :
    A série se torna:
    Essa é a série harmônica, que diverge.

Passo 7

Portanto, o domínio de convergência inclui mas exclui .

Resposta

A série de desenvolvimento da função log(1+x) é:
log(1+x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn
E o domínio de convergência dessa série é:
-1 < x <= 1

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