Obtenha os seguintes desenvolvimentos dados, indicando, em cada caso, o domínio de convergência da série:
.

Passo 1

Beleza, temos que expandir a função em uma série e descobrir para quais valores de essa série funciona, ou seja, onde ela converge. Vamos usar conceitos de séries de potências e análise de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor da função centrada em 0 é dada por:
Essa série alternada é obtida expandindo a função em torno de .

Passo 3

Para encontrar o domínio de convergência dessa série, precisamos verificar para quais valores de a série realmente soma um valor finito. Uma maneira comum de fazer isso é usando o Teste da Razão.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, analisamos o limite:
onde . Então:
Quando tende ao infinito, tende a 1. Então:

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, a série converge se , ou seja:
Isso significa que a série converge para todos os no intervalo aberto .

Passo 6

Além disso, precisamos verificar os pontos limites e .
  • Para :
    A série se torna:
    Essa é a série alternada harmônica, que converge pelo Teste da Série Alternada.
  • Para :
    A série se torna:
    Essa é a série harmônica, que diverge.

Passo 7

Portanto, o domínio de convergência inclui mas exclui .

Resposta

A série de desenvolvimento da função é:
E o domínio de convergência dessa série é:

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Vamos supor que: (1) o nível de equilíbrio da renda seja atualmente $ 1000, (2) a propensão marginal a consumir seja 0,70 e (3) o consumo seja uma função da renda disponível com defasagem de um período ( um período é igual a três meses): Que aumento permanente no investimento é necessário para que o nível da renda chegue a $ 1101,2 em um ano?
Se o investimento cair $20 e a propensão marginal a consumir for 0,60 quais serão: a variação autônoma na despesa
Dado um modelo com três setores , o equilíbrio da renda ocorre quando: