Obtenha os seguintes desenvolvimentos dados, indicando, em cada caso, o domínio de convergência da série: .
Passo 1
Beleza, temos que expandir a função em uma série e descobrir para quais valores de essa série funciona, ou seja, onde ela converge. Vamos usar conceitos de séries de potências e análise de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor da função centrada em 0 é dada por:
Essa série alternada é obtida expandindo a função em torno de .
Passo 3
Para encontrar o domínio de convergência dessa série, precisamos verificar para quais valores de a série realmente soma um valor finito. Uma maneira comum de fazer isso é usando o Teste da Razão.
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão, analisamos o limite:
onde . Então:
Quando tende ao infinito, tende a 1. Então:
Passo 5
Segundo o Teste da Razão, a série converge se , ou seja:
Isso significa que a série converge para todos os no intervalo aberto .
Passo 6
Além disso, precisamos verificar os pontos limites e .
Para :
A série se torna:
Essa é a série alternada harmônica, que converge pelo Teste da Série Alternada.
Para :
A série se torna:
Essa é a série harmônica, que diverge.
Passo 7
Portanto, o domínio de convergência inclui mas exclui .