Obtenha as seguintes probabilidades manualmente e pelo R.
Seja . Determine
(a) P(X=7) em que X sim Bin(13 ; 0,4).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial com tentativas e uma probabilidade de sucesso em cada tentativa. A pergunta quer saber qual é a probabilidade de exatamente 7 sucessos ocorrerem, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distribuição binomial e, depois, também mostrarei como calcular isso usando o R.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular manualmente usando a fórmula da distribuição binomial. A fórmula para P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k é:
P(X = 7) = binom137 (0,4)^7 (0,6)^13 - 7
Onde:
  • binom137 = 13!7! cdot (13 - 7)! = 13!7! cdot 6! = 1716 é o número de combinações de (0,4)^7 approx 0,0016384 itens tirando (0,6)^6 approx 0,046656 de cada vez.
  • P(X = 7) = 1716 times 0,0016384 times 0,046656 approx 0,131 é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • é o número total de tentativas.
  • é o número de sucessos desejados.
Vamos substituir os valores:
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial :
Agora, calculamos e :
Multiplicando tudo:

Passo 3

Agora, vamos ver como fazer esse cálculo no R. Usamos a função dbinom que calcula a densidade da distribuição binomial para um valor específico de .
O código seria:
P_X_7 <- dbinom(7, size = 13, prob = 0.4)
print(P_X_7)
Quando você roda esse código no R, ele retorna aproximadamente 0.131, que confirma nosso cálculo manual.

Resposta

A probabilidade de obter exatamente 7 sucessos é aproximadamente .

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