Obtenha as seguintes probabilidades manualmente e pelo R.
Seja . Determine
(a) em que .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial com tentativas e uma probabilidade de sucesso em cada tentativa. A pergunta quer saber qual é a probabilidade de exatamente 7 sucessos ocorrerem, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distribuição binomial e, depois, também mostrarei como calcular isso usando o R.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular manualmente usando a fórmula da distribuição binomial. A fórmula para é:
Onde:
  • é o número de combinações de itens tirando de cada vez.
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • é o número total de tentativas.
  • é o número de sucessos desejados.
Vamos substituir os valores:
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial :
Agora, calculamos e :
Multiplicando tudo:

Passo 3

Agora, vamos ver como fazer esse cálculo no R. Usamos a função dbinom que calcula a densidade da distribuição binomial para um valor específico de .
O código seria:
P_X_7 <- dbinom(7, size = 13, prob = 0.4)
print(P_X_7)
Quando você roda esse código no R, ele retorna aproximadamente 0.131, que confirma nosso cálculo manual.

Resposta

A probabilidade de obter exatamente 7 sucessos é aproximadamente .

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