Suponha que sejam necessários pelo menos 9 votos de um júri formado por 12 jurados para que um réu seja condenado. Suponha também que a probabilidade de que um jurado vote na inocência de uma pessoa culpada seja de 0,2 , enquanto a probabilidade de que o jurado vote na culpa de uma pessoa inocente seja de 0,1. Se cada jurado age independentemente e se 65% dos réus são culpados, determine a probabilidade de que o júri chegue à conclusão correta. Que percentual de réus é condenado?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos um júri com 12 jurados e, para condenar alguém, precisam de pelo menos 9 votos. A gente sabe que:
  • A chance de um jurado votar inocente quando a pessoa é culpada é de 20% (ou seja, 0,2).
  • A chance de um jurado votar culpado quando a pessoa é inocente é de 10% (ou seja, 0,1).
  • 65% dos réus são realmente culpados.
Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
  1. Qual a probabilidade de o júri chegar à conclusão correta, seja condenando um culpado ou absolvendo um inocente.
  2. Que percentual de réus acaba sendo condenado.
Para resolver isso, vamos usar probabilidade binomial, que é ótima para calcular a chance de um certo número de sucessos (neste caso, votos de condenação ou absolvição) em uma quantidade fixa de tentativas independentes (os jurados).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de o júri condenar um réu que é realmente culpado.
Quando o réu é culpado, cada jurado tem 80% de chance de votar condenação (já que 20% votam inocente). Queremos que pelo menos 9 dos 12 jurados votem constrição. Isso é um problema de probabilidade binomial, onde:
  • Número de tentativas, P(X >= k) = sumi=k^n binomni p^i (1-p)^n-i
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa, P(Condenação|Culpado) = sumi=9^12 binom12i (0.8)^i (0.2)^12-i
  • Número mínimo de sucessos,
A fórmula da probabilidade binomial é:
Então, precisamos calcular:
çã

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de o júri não condenar um réu que é inocente.
Quando o réu é inocente, cada jurado tem 90% de chance de votar inocente (já que 10% votam culpado). Queremos que menos de 9 jurados votem culpado, ou seja, que no máximo 8 votem culpado. Isso também é um problema de probabilidade binomial:
  • Número de tentativas, P(X <= 8) = sumi=0^8 binom12i (0.1)^i (0.9)^12-i
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa, (votar culpado)
  • Número máximo de sucessos,
A fórmula será:

Passo 4

Agora, vamos juntar as duas partes para encontrar a probabilidade total de o júri chegar à conclusão correta. Isso envolve duas situações:
  1. O réu é culpado E o júri condena.
  2. O réu é inocente E o júri não condena.
Usando a regra da probabilidade total:
P(Conclusão Correta) = P(Condenação|Culpado) times P(Culpado) + P(Não Condenação|Inocente) times P(Inocente) ãçããçã
Sabemos que e .

Passo 5

Por fim, vamos calcular que percentual de réus é condenado. Isso acontece em duas situações:
  1. Réus culpados que são condenados.
  2. Réus inocentes que são condenados por erro.
Então, a porcentagem de réus condenados será:
P(Condenado) = P(Condenação|Culpado) times P(Culpado) + P(Condenação|Inocente) times P(Inocente) çãçã
Onde:
  • çã é a probabilidade de condenar um inocente, que é ãçã.

Resposta

Após todos os cálculos, a probabilidade de o júri chegar à conclusão correta é de aproximadamente 0,973 (ou 97,3%) e cerca de 69,5% dos réus são condenados.

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