Suponha que sejam necessários pelo menos 9 votos de um júri formado por 12 jurados para que um réu seja condenado. Suponha também que a probabilidade de que um jurado vote na inocência de uma pessoa culpada seja de 0,2 , enquanto a probabilidade de que o jurado vote na culpa de uma pessoa inocente seja de 0,1. Se cada jurado age independentemente e se 65% dos réus são culpados, determine a probabilidade de que o júri chegue à conclusão correta. Que percentual de réus é condenado?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos um júri com 12 jurados e, para condenar alguém, precisam de pelo menos 9 votos. A gente sabe que:
- A chance de um jurado votar inocente quando a pessoa é culpada é de 20% (ou seja, 0,2).
- A chance de um jurado votar culpado quando a pessoa é inocente é de 10% (ou seja, 0,1).
- 65% dos réus são realmente culpados.
Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
- Qual a probabilidade de o júri chegar à conclusão correta, seja condenando um culpado ou absolvendo um inocente.
- Que percentual de réus acaba sendo condenado.
Para resolver isso, vamos usar probabilidade binomial, que é ótima para calcular a chance de um certo número de sucessos (neste caso, votos de condenação ou absolvição) em uma quantidade fixa de tentativas independentes (os jurados).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de o júri condenar um réu que é realmente culpado.
Quando o réu é culpado, cada jurado tem 80% de chance de votar condenação (já que 20% votam inocente). Queremos que pelo menos 9 dos 12 jurados votem constrição. Isso é um problema de probabilidade binomial, onde:
- Número de tentativas,
- Probabilidade de sucesso em cada tentativa,
- Número mínimo de sucessos,
A fórmula da probabilidade binomial é:
Então, precisamos calcular:
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de o júri não condenar um réu que é inocente.
Quando o réu é inocente, cada jurado tem 90% de chance de votar inocente (já que 10% votam culpado). Queremos que menos de 9 jurados votem culpado, ou seja, que no máximo 8 votem culpado. Isso também é um problema de probabilidade binomial:
- Número de tentativas,
- Probabilidade de sucesso em cada tentativa,
(votar culpado) - Número máximo de sucessos,
A fórmula será:
Passo 4
Agora, vamos juntar as duas partes para encontrar a probabilidade total de o júri chegar à conclusão correta. Isso envolve duas situações:
- O réu é culpado E o júri condena.
- O réu é inocente E o júri não condena.
Usando a regra da probabilidade total:
Sabemos que
e
.
Passo 5
Por fim, vamos calcular que percentual de réus é condenado. Isso acontece em duas situações:
- Réus culpados que são condenados.
- Réus inocentes que são condenados por erro.
Então, a porcentagem de réus condenados será:
Onde:
-
é a probabilidade de condenar um inocente, que é .
Resposta
Após todos os cálculos, a probabilidade de o júri chegar à conclusão correta é de aproximadamente 0,973 (ou 97,3%) e cerca de 69,5% dos réus são condenados.
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Seja
. Determine
(e) Obtenha a função de probabilidade de usando o R. Esboce seu gráfico.
(e) Obtenha a função de probabilidade de
Obtenha as seguintes probabilidades manualmente e pelo R.
Seja . Determine
(a) em que
.
Seja . Determine
(a)