Obtenha a solução geral

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição que simplifique a equação e facilite a integração. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :
Isso nos dá:
Agora, a equação ficou mais clara e vamos tentar uma substituição para facilitar a resolução.

Passo 3

Vamos usar a substituição homogênea, assumindo que . Isso significa que e, derivando em relação a :
Substituindo e na equação original, temos:
Simplificando:

Passo 4

Dividindo ambos os lados por , obtemos:
Expandindo o lado esquerdo:
Subtraindo de ambos os lados:
E isolando :

Passo 5

Agora, temos uma equação separável:
Vamos integrar ambos os lados:
Integrando, obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :
Podemos renomear como apenas , já que é uma constante qualquer.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Ache as derivadas parciais, usando a regra da cadeia:
e
Resposta: e
Sabendo que e , determine:
a)
Resolva as seguintes P.V.I.
Use a regra da cadeia para achar se , com e . Resposta: .