Obtenha a solução geral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição que simplifique a equação e facilite a integração. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Isso nos dá:
Agora, a equação ficou mais clara e vamos tentar uma substituição para facilitar a resolução.
Passo 3
Vamos usar a substituição homogênea, assumindo que
. Isso significa que
e, derivando em relação a
:
Substituindo
e
na equação original, temos:
Simplificando:
Passo 4
Dividindo ambos os lados por
, obtemos:
Expandindo o lado esquerdo:
Subtraindo
de ambos os lados:
E isolando
:
Passo 5
Agora, temos uma equação separável:
Vamos integrar ambos os lados:
Integrando, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Podemos renomear
como apenas
, já que é uma constante qualquer.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.