Use a regra da cadeia para achar partial wpartial z se w=r^2+s v+t^3, com r=x^2+y^2+z^2, s=x y z, v=x e^y e t=y z^2. Resposta: 4 z(x^2+y^2+z^2)+x^2 y e^y+6 y^3 z^5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada parcial de em relação a , usando a regra da cadeia. Estamos lidando com funções que se relacionam entre si: , onde , , e . Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é uma função de , , e . Para encontrar , precisamos derivar em relação a cada uma dessas variáveis e depois multiplicar pelas derivadas dessas variáveis em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial wpartial r = 2r :
partial wpartial s = v
partial wpartial v = s
partial wpartial t = 3t^2

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de partial rpartial z = 2z , partial spartial z = x y , partial vpartial z = 0 (pois v = x e^y não depende de z) e partial tpartial z = 2y z em relação a :
ã

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, combinamos as derivadas:
partial wpartial z = partial wpartial r cdot partial rpartial z + partial wpartial s cdot partial spartial z + partial wpartial v cdot partial vpartial z + partial wpartial t cdot partial tpartial z
Substituindo os valores:
partial wpartial z = 2r cdot 2z + v cdot x y + s cdot 0 + 3t^2 cdot 2y z

Passo 6

Agora, substituímos r = x^2 + y^2 + z^2 , s = x y z e t = y z^2 pelas suas expressões em termos de partial wpartial z = 2(x^2 + y^2 + z^2) cdot 2z + (x e^y) cdot x y + 3(y z^2)^2 cdot 2y z , e :
Substituindo na expressão anterior:

Passo 7

Simplificando cada termo:
2(x^2 + y^2 + z^2) cdot 2z = 4z(x^2 + y^2 + z^2)
(x e^y) cdot x y = x^2 y e^y
3(y z^2)^2 cdot 2y z = 3y^2 z^4 cdot 2y z = 6 y^3 z^5

Resposta

partial wpartial z = 4 z(x^2+y^2+z^2) + x^2 y e^y + 6 y^3 z^5

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