Use o método de Picard para obter a quarta aproximação da solução de
. (Sugestão: tome o limite inferior de integração como sendo um).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método de Picard. A gente tem a equação diferencial
com a condição inicial
. O método de Picard nos ajuda a encontrar aproximações sucessivas da solução usando integrais. Vamos precisar integrar a expressão
a cada passo.
Passo 2
Primeiro, começamos com a condição inicial. Nossa primeira aproximação,
, é simplesmente a condição inicial:
Passo 3
Agora, usamos essa primeira aproximação para encontrar
:
Calculando a integral:
Passo 4
Com
encontrada, vamos para
:
Simplificando dentro da integral:
Calculando:
Passo 5
Continuando, encontramos
:
Simplificando:
Calculando:
Passo 6
Finalmente, para a quarta aproximação
, repetimos o processo usando
dentro da integral:
Essa integração resultará na quarta aproximação da solução. Seguindo os passos anteriores e calculando a integral, obtemos a função aproximada desejada.
Resposta
A quarta aproximação da solução pelo método de Picard é: