Use o método de Picard para obter a quarta aproximação da solução de y' = x + y, y(1) = 2. (Sugestão: tome o limite inferior de integração como sendo um).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método de Picard. A gente tem a equação diferencial com a condição inicial . O método de Picard nos ajuda a encontrar aproximações sucessivas da solução usando integrais. Vamos precisar integrar a expressão a cada passo.

Passo 2

Primeiro, começamos com a condição inicial. Nossa primeira aproximação, , é simplesmente a condição inicial:

Passo 3

Agora, usamos essa primeira aproximação para encontrar :
Calculando a integral:

Passo 4

Com encontrada, vamos para :
Simplificando dentro da integral:
Calculando:

Passo 5

Continuando, encontramos :
Simplificando:
Calculando:

Passo 6

Finalmente, para a quarta aproximação , repetimos o processo usando dentro da integral:
Essa integração resultará na quarta aproximação da solução. Seguindo os passos anteriores e calculando a integral, obtemos a função aproximada desejada.

Resposta

A quarta aproximação da solução pelo método de Picard é:

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