Dada uma curva paramétrica
e
, sabemos que muitas vezes podemos eliminar o parâmetro
nas equações para obter uma função
.
b) Use o resultado para encontrar
, para as curvas:
i.
ii.
iii.
b) Use o resultado para encontrar
i.
ii.
iii.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem curvas paramétricas, que são definidas por duas funções:
e
. Muitas vezes, conseguimos eliminar o parâmetro
e escrever
diretamente em função de
, ou seja,
. O exercício aqui quer que a gente use esse resultado para encontrar a primeira e a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
e
, para três curvas específicas.
Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas e entender como derivar funções paramétricas. Não vamos pular nenhuma etapa, então vamos explicar tudo detalhadamente.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro item:
i.
;
Primeiro, precisamos encontrar
. Para isso, vamos derivar
e
em relação a
separadamente e depois usar a regra da cadeia:
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Isso envolve derivar
em relação a
e depois multiplicar por
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Isso é um pouco trabalhoso, mas usando a regra do quociente e simplificando, obtemos:
Simplificando mais:
Então, a segunda derivada é:
Passo 4
Agora vamos para o segundo item:
ii.
;
Primeiro, vamos encontrar
.
Derivando
e
em relação a
:
Então,
Passo 5
Agora, a segunda derivada
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Então, a segunda derivada é:
Passo 6
Finalmente, o terceiro item:
iii.
;
Primeiro, vamos lembrar que
é a função hiperbólica seno, normalmente escrita como
.
Vamos encontrar
.
Derivando
e
em relação a
:
Então,
Passo 7
Agora, a segunda derivada
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Então, a segunda derivada é:
Resposta
As derivadas para cada curva são:
i.
ii.
iii.