Dada uma curva paramétrica x = f(t) e y = g(t), sabemos que muitas vezes podemos eliminar o parâmetro t nas equações para obter uma função y = h(x).
b) Use o resultado para encontrar dy/dx e d²y/dx², para as curvas:
i. x = t^2 e^t ; y = t ln t
ii. x = a cos(t) ; y = b sen(t)
iii. x = cosh(t) ; y = senh(t)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem curvas paramétricas, que são definidas por duas funções: e . Muitas vezes, conseguimos eliminar o parâmetro t e escrever y diretamente em função de x, ou seja, . O exercício aqui quer que a gente use esse resultado para encontrar a primeira e a segunda derivada de y em relação a x, ou seja, e , para três curvas específicas.
Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas e entender como derivar funções paramétricas. Não vamos pular nenhuma etapa, então vamos explicar tudo detalhadamente.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro item:
i. ;
Primeiro, precisamos encontrar . Para isso, vamos derivar y e x em relação a t separadamente e depois usar a regra da cadeia:
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Isso envolve derivar em relação a t e depois multiplicar por .
Primeiro, derivamos em relação a t:
Isso é um pouco trabalhoso, mas usando a regra do quociente e simplificando, obtemos:
Simplificando mais:
Então, a segunda derivada é:

Passo 4

Agora vamos para o segundo item:
ii. ;
Primeiro, vamos encontrar .
Derivando y e x em relação a t:
Então,

Passo 5

Agora, a segunda derivada .
Primeiro, derivamos em relação a t:
Então, a segunda derivada é:

Passo 6

Finalmente, o terceiro item:
iii. ;
Primeiro, vamos lembrar que senh(t) é a função hiperbólica seno, normalmente escrita como .
Vamos encontrar .
Derivando y e x em relação a t:
Então,

Passo 7

Agora, a segunda derivada .
Primeiro, derivamos em relação a t:
Então, a segunda derivada é:

Resposta

As derivadas para cada curva são:
i.
ii.
iii.

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