Seja uma planta cuja função de transferência entre a entrada e a saída é dada por:
Obtenha um modelo em espaço de estados que apresente a mesma função de transferência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para transformar uma função de transferência em um modelo de espaço de estados. Isso está dentro da disciplina de Controle de Sistemas, mais especificamente no estudo de representação de sistemas dinâmicos. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter a função de transferência dada em equações de espaço de estados, que envolvem matrizes A, B, C e D.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função de transferência. Ela relaciona a entrada e a saída de um sistema no domínio de Laplace. No nosso caso, a função de transferência é:
Para converter isso em espaço de estados, vamos precisar colocar essa função em uma forma que possamos identificar os coeficientes do numerador e do denominador.

Passo 3

Vamos começar simplificando a função de transferência. Primeiro, vamos expandir o denominador:
Então, a função de transferência fica:

Passo 4

Agora, vamos expressar essa função na forma padrão para facilitar a conversão. A forma padrão de uma função de transferência é:
No nosso caso, o numerador é e o denominador já está na forma . Então, temos:

Passo 5

Para transformar isso em espaço de estados, vamos usar a representação canônica de controlador. Nessa representação, as matrizes A, B, C e D são construídas a partir dos coeficientes do denominador e numerador da função de transferência.
Dado que o denominador é de ordem 3, nossa matriz A será uma matriz 3x3, B será uma matriz 3x1, C será uma matriz 1x3 e D será um escalar.

Passo 6

Vamos identificar os coeficientes:
Denominador:
Aqui, temos:
Numerador:
Aqui, temos:

Passo 7

Agora, vamos montar as matrizes seguindo a representação canônica:
A matriz A será:
A matriz B será:
A matriz C será:
Mas para simplificar, na representação canônica, geralmente temos:
No entanto, isso pode variar dependendo da forma específica de canonicalização escolhida.
E a matriz D será:

Passo 8

Porém, para manter a simplicidade e evitar complicações com a representação específica, podemos optar por uma forma simplificada da representação canônica, onde:
E D permanece zero, já que não há termo independente na função de transferência.

Passo 9

Com isso, nosso modelo de espaço de estados fica assim:

Resposta

Então, o modelo em espaço de estados correspondente à função de transferência dada é:

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