Obtenha a Transformada Z inversa das seguintes funções:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar a Transformada Z inversa da função
. Isso faz parte da matéria de Processamento de Sinais, mais especificamente sobre Transformadas Z. Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor frações racionais e aplicar a Transformada Z inversa usando métodos como a decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da função
. A gente tem um polinômio quadrático
. Nosso objetivo é fatorar esse polinômio para facilitar a decomposição em frações parciais. Para fatorar, vamos encontrar as raízes da equação
.
Passo 3
Para encontrar as raízes da equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas raízes:
Passo 4
Agora que temos as raízes
e
, podemos fatorar o denominador:
Então, a função
fica:
Passo 5
Vamos decompor
em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, vamos resolver para
e
:
Para
:
Para
:
Então, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a Transformada Z inversa de cada termo separadamente. Sabemos que:
Onde
é a função degrau unitário. Aplicando isso aos nossos termos:
Para
:
Para
:
Passo 7
Finalmente, juntando as duas partes, a Transformada Z inversa de
é a soma das duas transformadas encontradas:
Resposta
A Transformada Z inversa de
é: