Obtenha a Transformada Z inversa das seguintes funções: F4(z)=zz^2-2.5 z+1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar a Transformada Z inversa da função . Isso faz parte da matéria de Processamento de Sinais, mais especificamente sobre Transformadas Z. Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor frações racionais e aplicar a Transformada Z inversa usando métodos como a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da função . A gente tem um polinômio quadrático . Nosso objetivo é fatorar esse polinômio para facilitar a decomposição em frações parciais. Para fatorar, vamos encontrar as raízes da equação .

Passo 3

Para encontrar as raízes da equação quadrática z = 2.5 pm raiz(2.5)^2 - 4 cdot 1 cdot 12 , usamos a fórmula de Bhaskara:
De
Calculando o discriminante:
z = 2.5 pm raiz2.252 = 2.5 pm 1.52
Então,
z1 = 2.5 + 1.52 = 2 e z2 = 2.5 - 1.52 = 0.5
Isso nos dá duas raízes:

Passo 4

Agora que temos as raízes z^2 - 2.5z + 1 = (z - 2)(z - 0.5) e F4(z) = z(z - 2)(z - 0.5) , podemos fatorar o denominador:
Então, a função fica:

Passo 5

Vamos decompor z(z - 2)(z - 0.5) = Az - 2 + Bz - 0.5 em frações parciais. Queremos encontrar constantes z = A(z - 0.5) + B(z - 2) e 2 = A(2 - 0.5) + B(2 - 2) Rightarrow 2 = A(1.5) Rightarrow A = 21.5 = 43 tais que:
0.5 = A(0.5 - 0.5) + B(0.5 - 2) Rightarrow 0.5 = B(-1.5) Rightarrow B = 0.5-1.5 = -13
Multiplicando ambos os lados por F4(z) = 4/3z - 2 - 1/3z - 0.5 :
Agora, vamos resolver para e :
Para :
Para :
Então, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a Transformada Z inversa de cada termo separadamente. Sabemos que:
Z^-11z - a = a^nu[n]
Onde Z^-14/3z - 2 = 43 cdot 2^nu[n] é a função degrau unitário. Aplicando isso aos nossos termos:
Para Z^-1-1/3z - 0.5 = -13 cdot (0.5)^nu[n] :
Para :

Passo 7

Finalmente, juntando as duas partes, a Transformada Z inversa de f4[n] = 43 cdot 2^nu[n] - 13 cdot (0.5)^nu[n] é a soma das duas transformadas encontradas:

Resposta

A Transformada Z inversa de f4[n] = 43 cdot 2^nu[n] - 13 cdot (12)^nu[n] é:

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