Obtenha a Transformada Z inversa das seguintes funções:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar a Transformada Z inversa da função
. Isso faz parte da matéria de Processamento de Sinais, mais especificamente sobre Transformadas Z. Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor frações racionais e aplicar a Transformada Z inversa usando métodos como a decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da função
. A gente tem um polinômio quadrático
. Nosso objetivo é fatorar esse polinômio para facilitar a decomposição em frações parciais. Para fatorar, vamos encontrar as raízes da equação
.
Passo 3
Para encontrar as raízes da equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas raízes:
Passo 4
Agora que temos as raízes
e
, podemos fatorar o denominador:
Então, a função
fica:
Passo 5
Vamos decompor
em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, vamos resolver para
e
:
Para
:
Para
:
Então, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a Transformada Z inversa de cada termo separadamente. Sabemos que:
Onde
é a função degrau unitário. Aplicando isso aos nossos termos:
Para
:
Para
:
Passo 7
Finalmente, juntando as duas partes, a Transformada Z inversa de
é a soma das duas transformadas encontradas:
Resposta
A Transformada Z inversa de
é:
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Obtenha a Transformada Z inversa das seguintes funções:
;
a) Em um sistema trifásico, quais as principais diferenças entre ligação estrela (
) e ligação em triângulo
:
I. Na fonte?
II. Na carga?
b) Por que um capacitor deve ser ligado em paralelo com a carga quando se deseja corrigir o fator de potência?
c) Considerando um número fixo de espiras, quais variáveis interferem na amplitude da tensão na saída de um gerador trifásico de corrente alternada?
d) Suponha que você seja chamado para uma consultoria em uma instalação industrial. O responsável pelo setor exibe vários motores elétricos e afirma que os mesmos estão trabalhando “com folga”, pois estão com baixo carregamento, ou seja, fazendo “pouca força”. Isso seria uma vantagem ou desvantagem para o proprietário? Justifique sua resposta.
I. Na fonte?
II. Na carga?
b) Por que um capacitor deve ser ligado em paralelo com a carga quando se deseja corrigir o fator de potência?
c) Considerando um número fixo de espiras, quais variáveis interferem na amplitude da tensão na saída de um gerador trifásico de corrente alternada?
d) Suponha que você seja chamado para uma consultoria em uma instalação industrial. O responsável pelo setor exibe vários motores elétricos e afirma que os mesmos estão trabalhando “com folga”, pois estão com baixo carregamento, ou seja, fazendo “pouca força”. Isso seria uma vantagem ou desvantagem para o proprietário? Justifique sua resposta.
Seja uma planta cuja função de transferência entre a entrada e a saída é dada por:
Obtenha um modelo em espaço de estados que apresente a mesma função de transferência.
Seja uma planta cuja função de transferência entre a entrada e a saída é dada por:
Caso essa planta seja controlada em uma estrutura clássica de controle, qual o método de discretização mais apropriado para discretizar a planta?