Para se obter a probabilidade de encontrar um elétron em um elemento de volume quando sua função de onda é é , com (Elemento de volume em coordenadas esféricas). A probabilidade de se encontrar um elétron em um ângulo qualquer a um raio constante é aintegral dessa probabilidade sobre a superfície de uma esfera de raio , se escreve com . Assim,
Construa os gráficos da Função de distribuição Radial, P(r) versus r, para os orbitais 1s, 2 s e 3 p. Determine o raio mais provável de se encontrar o elétron nos orbitais 1 s, 2 s e 3 p . Sugestão: Faça r variar de 0 a 1,5 times 10^-9 m, com De. Considere o raio de Borh a0=5,29177 times 10^-11 m.
Orbital
n
I
Função de onda radial <br> (X(r))
1s
1
0
2(1a0)^32 cdot e^-r / 2
2 s
3
0
1raiz8(1a0)^32(2-r) e^-r / 2
3 p
3
1
1raiz486(1a0)^32(4-r) r e^-r / 2
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou trata da probabilidade de encontrar um elétron em diferentes orbitais (1s, 2s e 3p) de um átomo. A matéria aqui é sobre funções de onda e distribuição de probabilidade em mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a função de distribuição radial e depois plotar esses gráficos para cada orbital. Também vamos determinar qual é o raio mais provável de encontrar o elétron em cada caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar um elétron em um elemento de volume é dada por , onde é a função de onda. No nosso caso, a função de onda é . Como estamos interessados na probabilidade radial, queremos integrar essa probabilidade sobre todas as direções angulares mantendo o raio constante.
Passo 3
A expressão para o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = r^2 dr , sin(theta) dtheta dvarphi
Assim, a probabilidade radial P(r) dr = integral0^pi integral0^2pi |X(r)|^2 |Y(theta, varphi)|^2 r^2 sin(theta) dtheta dvarphi dr é dada por:
P(r) = r^2 |X(r)|^2
Como é normalizado, a integral sobre os ângulos resulta em 1. Portanto, simplificamos para:
Passo 4
Agora, vamos aplicar isso para cada orbital fornecido:
Vamos agora plotar versus para cada orbital. Para isso, faremos variar de 0 até metros, com incrementos de metros. Lembrando que o raio de Bohr metros.
Passos para plotar:
Definir o intervalo de : De 0 a m com m.
Calcular para cada valor de usando as fórmulas acima.
Usar um software de plotagem (como Python com matplotlib) para desenhar os gráficos de versus para 1s, 2s e 3p.
Passo 6
Finalmente, vamos determinar o raio mais provável de encontrar o elétron em cada orbital. O raio mais provável corresponde ao valor de onde é máximo.
Como fazer isso:
Analisar os gráficos de versus para cada orbital.
Identificar o ponto onde atinge seu valor máximo.
Registrar o valor de correspondente a esse máximo como o raio mais provável.
Resposta
Após realizar os cálculos e plotagens, os raios mais prováveis de se encontrar o elétron são:
Orbital 1s: metros
Orbital 2s: metros
Orbital 3p: metros
Esses valores representam os pontos onde a função de distribuição radial atinge seu máximo para cada um dos respectivos orbitais.