Para se obter a probabilidade de encontrar um elétron em um elemento de volume d V quando sua função de onda é Psi=X cdot Y é |X cdot Y|^2 d V, com d V=r^2 d r sen(theta) d theta d varphi (Elemento de volume em coordenadas esféricas). A probabilidade de se encontrar um elétron em um ângulo qualquer a um raio constante é aintegral dessa probabilidade sobre a superfície de uma esfera de raio r, se escreve com
P(r) d r. Assim,
P(r) cdot d r=integral0^pi integral0^2 pi|X(r)|^2 cdot|Y(theta, varphi)|^2 cdot r^2 d r cdot sen(theta) cdot d theta cdot d varphi P(r) cdot d r=r^2|X(r)|^2 cdot d r|integral dupla| Y(theta, varphi)|^2 cdot sen(theta) cdot d theta cdot d varphi P(r) cdot d r=r^2|X(r)|^2
Construa os gráficos da Função de distribuição Radial, P(r) versus r, para os orbitais 1s, 2 s e 3 p. Determine o raio mais provável de se encontrar o elétron nos orbitais 1 s, 2 s e 3 p . Sugestão: Faça r variar de 0 a 1,5 times 10^-9 m, com De. Considere o raio de Borh a0=5,29177 times 10^-11 m.
Orbital n I Função de onda radial <br> (X(r))
1s 1 0 2(1a0)^32 cdot e^-r / 2
2 s 3 0 1raiz8(1a0)^32(2-r) e^-r / 2
3 p 3 1 1raiz486(1a0)^32(4-r) r e^-r / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou trata da probabilidade de encontrar um elétron em diferentes orbitais (1s, 2s e 3p) de um átomo. A matéria aqui é sobre funções de onda e distribuição de probabilidade em mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a função de distribuição radial e depois plotar esses gráficos para cada orbital. Também vamos determinar qual é o raio mais provável de encontrar o elétron em cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar um elétron em um elemento de volume é dada por , onde é a função de onda. No nosso caso, a função de onda é . Como estamos interessados na probabilidade radial, queremos integrar essa probabilidade sobre todas as direções angulares mantendo o raio constante.

Passo 3

A expressão para o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = r^2 dr , sin(theta) dtheta dvarphi
Assim, a probabilidade radial P(r) dr = integral0^pi integral0^2pi |X(r)|^2 |Y(theta, varphi)|^2 r^2 sin(theta) dtheta dvarphi dr é dada por:
P(r) = r^2 |X(r)|^2
Como é normalizado, a integral sobre os ângulos resulta em 1. Portanto, simplificamos para:

Passo 4

Agora, vamos aplicar isso para cada orbital fornecido:
  1. Orbital 1s:
    X1s(r) = 2(1a0)^32 e^-r / 2
    Então,
    P1s(r) = r^2 [2(1a0)^32 e^-r / 2]^2 = 4 (1a0)^3 r^2 e^-r
  2. Orbital 2s:
    X2s(r) = 1raiz8 (1a0)^32 (2 - r) e^-r / 2
    Então,
    P2s(r) = r^2 [1raiz8 (1a0)^32 (2 - r) e^-r / 2]^2 = 18 (1a0)^3 r^2 (2 - r)^2 e^-r
  3. Orbital 3p:
    X3p(r) = 1raiz486 (1a0)^32 (4 - r) r e^-r / 2
    Então,
    P3p(r) = r^2 [1raiz486 (1a0)^32 (4 - r) r e^-r / 2]^2 = 1486 (1a0)^3 r^2 (4 - r)^2 r^2 e^-r = 1486 (1a0)^3 r^4 (4 - r)^2 e^-r

Passo 5

Vamos agora plotar versus para cada orbital. Para isso, faremos variar de 0 até metros, com incrementos de metros. Lembrando que o raio de Bohr metros.
Passos para plotar:
  1. Definir o intervalo de : De 0 a m com m.
  2. Calcular para cada valor de usando as fórmulas acima.
  3. Usar um software de plotagem (como Python com matplotlib) para desenhar os gráficos de versus para 1s, 2s e 3p.

Passo 6

Finalmente, vamos determinar o raio mais provável de encontrar o elétron em cada orbital. O raio mais provável corresponde ao valor de onde é máximo.
Como fazer isso:
  1. Analisar os gráficos de versus para cada orbital.
  2. Identificar o ponto onde atinge seu valor máximo.
  3. Registrar o valor de correspondente a esse máximo como o raio mais provável.

Resposta

Após realizar os cálculos e plotagens, os raios mais prováveis de se encontrar o elétron são:
  • Orbital 1s: metros
  • Orbital 2s: metros
  • Orbital 3p: metros
Esses valores representam os pontos onde a função de distribuição radial atinge seu máximo para cada um dos respectivos orbitais.

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