Determine o potencial a uma distância
sobre o eixo de um anel uniformemente carregado. Prove que para distâncias muito maiores do que o raio do anel o potencial obtido é exatamente o mesmo de uma carga pontual.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Eletrostática! A questão pede para a gente encontrar o potencial elétrico a uma distância
no eixo de um anel uniformemente carregado. Depois, vamos mostrar que, quando
é muito maior que o raio do anel, esse potencial fica igual ao de uma carga pontual. Para isso, vamos usar conceitos de potencial elétrico e distribuição de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o potencial elétrico devido a uma distribuição de carga. O potencial
em um ponto no espaço devido a uma carga
é dado por:
onde
é a constante eletrostática,
é a carga e
é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.
Passo 3
No caso de um anel uniformemente carregado, a carga está distribuída ao longo do anel. Para simplificar, vamos imaginar que o anel tem raio
e carga total
. Como estamos calculando o potencial em um ponto no eixo do anel, todas as pequenas partes da carga estarão à mesma distância desse ponto.
Passo 4
Vamos considerar um elemento infinitesimal de carga no anel,
. A distância
desse elemento ao ponto no eixo a uma distância
é dada pelo teorema de Pitágoras:
Como todas as partes do anel estão à mesma distância
do ponto, o potencial total
é a soma de todos os potenciais individuais:
Passo 5
Como a carga está distribuída uniformemente, podemos substituir
por
, onde
é o ângulo ao redor do anel. A integral vai de
a
:
Simplificando, temos:
Passo 6
Agora, vamos analisar o caso onde a distância
é muito maior que o raio do anel (
). Nesse caso, podemos aproximar:
Portanto, o potencial fica:
Isso é exatamente o potencial de uma carga pontual
a uma distância
.
Resposta
O potencial no eixo de um anel uniformemente carregado é
. Para distâncias
muito maiores que o raio
do anel, esse potencial aproxima-se de
, igual ao potencial de uma carga pontual.