Determine o potencial a uma distância x sobre o eixo de um anel uniformemente carregado. Prove que para distâncias muito maiores do que o raio do anel o potencial obtido é exatamente o mesmo de uma carga pontual.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Eletrostática! A questão pede para a gente encontrar o potencial elétrico a uma distância no eixo de um anel uniformemente carregado. Depois, vamos mostrar que, quando é muito maior que o raio do anel, esse potencial fica igual ao de uma carga pontual. Para isso, vamos usar conceitos de potencial elétrico e distribuição de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o potencial elétrico devido a uma distribuição de carga. O potencial V = kQr em um ponto no espaço devido a uma carga é dado por:
onde é a constante eletrostática, é a carga e é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.

Passo 3

No caso de um anel uniformemente carregado, a carga está distribuída ao longo do anel. Para simplificar, vamos imaginar que o anel tem raio e carga total . Como estamos calculando o potencial em um ponto no eixo do anel, todas as pequenas partes da carga estarão à mesma distância desse ponto.

Passo 4

Vamos considerar um elemento infinitesimal de carga no anel, r = raizx^2 + R^2 . A distância V = integral k , dqraizx^2 + R^2 desse elemento ao ponto no eixo a uma distância é dada pelo teorema de Pitágoras:
Como todas as partes do anel estão à mesma distância do ponto, o potencial total é a soma de todos os potenciais individuais:

Passo 5

Como a carga está distribuída uniformemente, podemos substituir V = integral0^2pi k cdot Q2pi R , R dthetaraizx^2 + R^2 = kQraizx^2 + R^2 integral0^2pi dtheta2pi = kQraizx^2 + R^2 por V = kQraizx^2 + R^2 , onde é o ângulo ao redor do anel. A integral vai de a :
Simplificando, temos:

Passo 6

Agora, vamos analisar o caso onde a distância raizx^2 + R^2 approx x (1 + R^22x^2) approx x é muito maior que o raio do anel ( V approx kQx ). Nesse caso, podemos aproximar:
Portanto, o potencial fica:
Isso é exatamente o potencial de uma carga pontual a uma distância .

Resposta

O potencial no eixo de um anel uniformemente carregado é . Para distâncias muito maiores que o raio do anel, esse potencial aproxima-se de , igual ao potencial de uma carga pontual.

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