Obter a série de Fourier de
dada a seguir em
e analisar a convergência da série. Construa o prolongamento periódico.
Passo 1
E aí! Vamos encarar esse exercício de séries de Fourier juntos. A gente tem uma função
definida no intervalo de
a
, onde ela vale
de
a
e
de
a
. A tarefa é encontrar a série de Fourier dessa função, analisar onde a série converge e construir a sua continuação periódica. Pra isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier e como ela se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier expressa uma função periódica como uma soma de termos senoidais e cossenoidais. A forma geral da série de Fourier é:
Aqui,
é a média da função no intervalo,
são os coeficientes dos cossenos e
são os dos senos. Nosso primeiro passo é calcular esses coeficientes.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função no intervalo
a
:
Substituindo
:
Resolvendo as integrais:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a função
é par ou ímpar. Uma função é par se
e ímpar se
.
No nosso caso:
Como
, a função é ímpar. Isso é importante porque funções ímpares têm apenas termos de seno na série de Fourier, ou seja, todos os
serão zero.
Passo 5
Vamos calcular os coeficientes
dos termos de seno:
Como
é ímpar e
também é ímpar, o produto
é par. Isso permite simplificar a integral:
Substituindo
de
a
:
Calculando os limites:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Analisando a expressão de
:
- Se
for par, , então . - Se
for ímpar, , então:
Isso significa que apenas os termos com índices ímpares têm coeficientes não nulos.
Passo 7
Agora, podemos escrever a série de Fourier da função
:
Ou de forma mais geral:
Passo 8
Sobre a convergência da série, sabemos que:
- Em pontos onde a função
é contínua, a série de Fourier converge exatamente para . - Nos pontos de descontinuidade (como
), a série converge para a média dos limites pela direita e pela esquerda. No nosso caso, essa média é .
Resposta
A série de Fourier da função
no intervalo
é:
Essa série converge para
em todos os pontos onde a função é contínua e para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade. Além disso, a continuação periódica construída estende essa série para todo o eixo real, repetindo o padrão de
e
a cada intervalo de
.
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d) Delimitada pelas curvas e
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Indique as propriedades que estão sendo usadas nas operações a seguir:
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Reescreva as expressões usando as propriedades indicadas: Distributiva: