Obter a série de Fourier de dada a seguir em e analisar a convergência da série. Construa o prolongamento periódico.

Passo 1

E aí! Vamos encarar esse exercício de séries de Fourier juntos. A gente tem uma função definida no intervalo de a , onde ela vale de a e de a . A tarefa é encontrar a série de Fourier dessa função, analisar onde a série converge e construir a sua continuação periódica. Pra isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier e como ela se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier expressa uma função periódica como uma soma de termos senoidais e cossenoidais. A forma geral da série de Fourier é:
Aqui, é a média da função no intervalo, são os coeficientes dos cossenos e são os dos senos. Nosso primeiro passo é calcular esses coeficientes.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no intervalo a :
Substituindo :
Resolvendo as integrais:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos verificar se a função é par ou ímpar. Uma função é par se e ímpar se .
No nosso caso:
Como , a função é ímpar. Isso é importante porque funções ímpares têm apenas termos de seno na série de Fourier, ou seja, todos os serão zero.

Passo 5

Vamos calcular os coeficientes dos termos de seno:
Como é ímpar e também é ímpar, o produto é par. Isso permite simplificar a integral:
Substituindo de a :
Calculando os limites:
Sabemos que , então:

Passo 6

Analisando a expressão de :
  • Se for par, , então .
  • Se for ímpar, , então:
Isso significa que apenas os termos com índices ímpares têm coeficientes não nulos.

Passo 7

Agora, podemos escrever a série de Fourier da função :
Ou de forma mais geral:

Passo 8

Sobre a convergência da série, sabemos que:
  • Em pontos onde a função é contínua, a série de Fourier converge exatamente para .
  • Nos pontos de descontinuidade (como ), a série converge para a média dos limites pela direita e pela esquerda. No nosso caso, essa média é .

Resposta

A série de Fourier da função no intervalo é:
Essa série converge para em todos os pontos onde a função é contínua e para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade. Além disso, a continuação periódica construída estende essa série para todo o eixo real, repetindo o padrão de e a cada intervalo de .

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