Esboce a região
d) Delimitada pelas curvas e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de geometria analítica onde precisamos esboçar a região delimitada pelas curvas e , além das linhas verticais e . Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam no intervalo de a e identificar onde elas se encontram. Vamos dividir isso em passos bem simples!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as funções que temos:
  1. : Essa é uma função cosseno que foi ampliada verticalmente por um fator de 2. O cosseno tem uma forma de onda que oscila entre 1 e -1, mas com o fator 2, agora oscila entre 2 e -2.
  2. : Essa é uma função seno com uma frequência maior, pois o ângulo dentro do seno é multiplicado por 2. Isso significa que ela completa mais ciclos dentro do mesmo intervalo de .

Passo 3

Agora, vamos identificar onde essas duas funções se interceptam no intervalo de a . Para isso, igualamos as duas funções:
Vamos resolver essa equação para encontrar os pontos de interseção.

Passo 4

Lembrando que pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
Substituindo na equação:
Agora, podemos simplificar ambos os lados dividindo por 2:

Passo 5

Subtraindo de ambos os lados para resolver:
Fatorando :
Então, temos duas possibilidades:

Passo 6

Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente:
  1. Isso acontece quando e dentro do intervalo de a .
  2. Resolvendo para :
    Isso acontece quando dentro do intervalo.

Passo 7

Então, os pontos de interseção são:
  • (pois também aqui)
Vamos colocar esses valores de nas funções para encontrar as coordenadas completas:
  1. Para :
    Então, o ponto é .
  2. Para :
    Então, o ponto é .

Passo 8

Agora que temos os pontos de interseção, vamos entender como as funções se comportam entre esses pontos e dentro do intervalo de a .
Para isso, podemos escolher alguns valores de entre e e calcular e para ver qual função está acima da outra em cada segmento.

Passo 9

Vamos testar alguns pontos:
  1. Entre e :
    • Escolha : Aqui, .
  2. Entre e :
    • Escolha : Aqui, .
  3. Entre e :
    • Escolha : Aqui, .

Passo 10

Com esses testes, percebemos que a região delimitada pelas curvas muda dependendo do intervalo de .
  1. De a , está acima de .
  2. De a , está acima de .
  3. De a , está novamente acima de .

Resposta

A região delimitada pelas curvas , , e compreende três segmentos:
  1. De a , onde está acima de .
  2. De a , onde está acima de .
  3. De a , onde está novamente acima de .
Esse esboço mostra a região dividida conforme as interseções e a posição relativa das funções dentro do intervalo especificado.

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h)
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