Esboce a região
d) Delimitada pelas curvas
e
d) Delimitada pelas curvas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de geometria analítica onde precisamos esboçar a região delimitada pelas curvas
e
, além das linhas verticais
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam no intervalo de
a
e identificar onde elas se encontram. Vamos dividir isso em passos bem simples!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as funções que temos:
-
: Essa é uma função cosseno que foi ampliada verticalmente por um fator de 2. O cosseno tem uma forma de onda que oscila entre 1 e -1, mas com o fator 2, agora oscila entre 2 e -2. -
: Essa é uma função seno com uma frequência maior, pois o ângulo dentro do seno é multiplicado por 2. Isso significa que ela completa mais ciclos dentro do mesmo intervalo de .
Passo 3
Agora, vamos identificar onde essas duas funções se interceptam no intervalo de
a
. Para isso, igualamos as duas funções:
Vamos resolver essa equação para encontrar os pontos de interseção.
Passo 4
Lembrando que
pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
Substituindo na equação:
Agora, podemos simplificar ambos os lados dividindo por 2:
Passo 5
Subtraindo
de ambos os lados para resolver:
Fatorando
:
Então, temos duas possibilidades:
Passo 6
Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente:
-
Isso acontece quando
e dentro do intervalo de a . -
Resolvendo para
: Isso acontece quandodentro do intervalo.
Passo 7
Então, os pontos de interseção são:
-
-
(pois também aqui)
Vamos colocar esses valores de
nas funções para encontrar as coordenadas completas:
-
Para
: Então, o ponto é. -
Para
: Então, o ponto é.
Passo 8
Agora que temos os pontos de interseção, vamos entender como as funções se comportam entre esses pontos e dentro do intervalo de
a
.
Para isso, podemos escolher alguns valores de
entre
e
e calcular
e
para ver qual função está acima da outra em cada segmento.
Passo 9
Vamos testar alguns pontos:
-
Entre
e : - Escolha
: Aqui, .
- Escolha
-
Entre
e : - Escolha
: Aqui, .
- Escolha
-
Entre
e : - Escolha
: Aqui, .
- Escolha
Passo 10
Com esses testes, percebemos que a região delimitada pelas curvas muda dependendo do intervalo de
.
- De
a , está acima de . - De
a , está acima de . - De
a , está novamente acima de .
Resposta
A região delimitada pelas curvas
,
,
e
compreende três segmentos:
- De
a , onde está acima de . - De
a , onde está acima de . - De
a , onde está novamente acima de .
Esse esboço mostra a região dividida conforme as interseções e a posição relativa das funções dentro do intervalo especificado.
Exercícios relacionados
Indique as propriedades que estão sendo usadas nas operações a seguir:
Dada a função
, determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
h)
h)
Obter a série de Fourier de
dada a seguir em
e analisar a convergência da série. Construa o prolongamento periódico.
Indique as propriedades que estão sendo usadas nas operações a seguir: