Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
p)
;
p)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:
Para resolver isso, vamos precisar usar o método de equações exatas. Isso porque a equação está na forma
, e queremos verificar se ela é exata ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
:
Passo 3
Agora, para saber se a equação é exata, a gente precisa verificar se:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
Primeiro, expandimos
:
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 5
Calculando
:
Primeiro, expandimos
:
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 6
Comparando
e
:
Observamos que:
Percebemos que, na verdade,
. Então, a equação não é exata.
Passo 7
Quando a equação não é exata, a gente pode procurar um fator integrante que multiplique a equação original e a torne exata. Vamos tentar encontrar esse fator.
Assumindo que o fator integrante
depende apenas de
ou apenas de
, vamos tentar
.
Passo 8
Multiplicando a equação original por
:
Queremos que seja exata, assim:
Computando a derivada:
Para que isso seja válido para todas as
e
, precisamos que:
Passo 9
Calcular o lado direito:
Percebemos que isso é complicado e não depende apenas de
. Então, vamos assumir que nosso método inicial não é o mais adequado e buscar outra abordagem, como talvez encontrar uma solução por separação de variáveis ou outra técnica.
Passo 10
Observe que a equação pode ser escrita como:
Agora, podemos tentar separar as variáveis
e
:
Passo 11
Integramos ambos os lados:
Passo 12
Resolvendo a integral do lado esquerdo:
Faça a substituição
, então
. Assim:
Passo 13
Resolvendo a integral do lado direito:
Faça a substituição
, então
. Assim:
Passo 14
Igualando as integrais:
Podemos simplificar rearranjando os termos:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
o) ;
o)
Suponha que a função
, em que
é medida em graus Celsius e x e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano
. Qual é a taxa máxima de variação da temperatura no ponto P?
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
t) ;
t)
A função custo marginal é dada por
, e o custo geral é
. Ache a função custo total.