Suponha que a função
, em que
é medida em graus Celsius e x e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano
. Qual é a taxa máxima de variação da temperatura no ponto P?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função que descreve a temperatura
, onde
está em graus Celsius e
e
estão em metros. A pergunta é: qual é a taxa máxima de variação da temperatura no ponto
? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo vetorial, especificamente o gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção e a magnitude da máxima variação de uma função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,
Calcular as derivadas parciais nos dará as direções de maior variação em cada eixo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Usando a regra da cadeia, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aplicando a mesma regra da cadeia:
Passo 5
Então, o gradiente de
é:
Passo 6
A taxa máxima de variação da temperatura no ponto
é dada pelo módulo do gradiente de
nesse ponto. O módulo de um vetor
é calculado por:
Aplicando isso ao nosso gradiente:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Resposta
A taxa máxima de variação da temperatura no ponto
é
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Resolva:
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
j) ;
j)
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
o) ;
o)
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
p) ;
p)