Obter o vetor v do espaço, sabendo que |v|=3, v forma um ângulo de 120^circ com o vetor i, forma ângulo de 60^circ com o vetor j e ângulo obtuso com k.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão nos pede. Precisamos encontrar um vetor v no espaço tridimensional com as seguintes características:
  • Módulo (comprimento) de |v| = 3.
  • Forma um ângulo de 120^circ com o vetor i (eixo x).
  • Forma um ângulo de 60^circ com o vetor j (eixo y).
  • Forma um ângulo obtuso com o vetor k (eixo z).
Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre vetores, que nos permite relacionar os ângulos entre eles.

Passo 2

Vamos representar o vetor v em componentes cartesianas:
v = (x, y, z)
Sabemos que o módulo de v é 3:
|v| = raizx^2 + y^2 + z^2 = 3

Passo 3

Agora, vamos usar o produto escalar para relacionar os ângulos dados com os eixos.
O produto escalar entre v e i é:
v cdot i = |v| |i| cos(120^circ)
Como i = (1, 0, 0), temos:
x = 3 cdot 1 cdot cos(120^circ) = 3 cdot (-0,5) = -1,5

Passo 4

De maneira similar, o produto escalar entre v e j é:
v cdot j = |v| |j| cos(60^circ)
Como j = (0, 1, 0), temos:
y = 3 cdot 1 cdot cos(60^circ) = 3 cdot 0,5 = 1,5

Passo 5

Para o eixo z, a questão diz que o ângulo é obtuso, ou seja, maior que 90^circ. Isso implica que o cosseno desse ângulo será negativo.
Calculamos:
v cdot k = |v| |k| cos(theta)
Como k = (0, 0, 1) e cos(theta) < 0, temos:
z = 3 cdot 1 cdot cos(theta) (com cos(theta) < 0)

Passo 6

Sabemos que:
|v|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 9
Substituindo os valores de x e y:
(-1,5)^2 + (1,5)^2 + z^2 = 9 2,25 + 2,25 + z^2 = 9 z^2 = 9 - 4,5 z^2 = 4,5 z = -raiz4,5 (pois z é negativo) é
Simplificando:
z = -3raiz22

Resposta

O vetor v desejado é:
v = ( -32, 32, -3raiz22 )

Exercícios relacionados

Dados os vetores u=(1,-2), v=(3,2) e w=(-1,6) :
(b) determinar o vetor x tal que 2 x+u=2 w-v-x.
Dados os vetores u=(1,-2), v=(3,2) e w=(-1,6) :
(a) determinar 3 v-2 u-w.
Dados os pontos A(-4,2), B(-2,-2) e C(4,1) :
(a) encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo A B C D,
Sejam A=(0,1,5), M=(1,2,0) e B pontos de \mathbb{R}^{3}.
(a) Sabendo que M é ponto médio de \overline{A B}, determine B;