Obter o vetor
do espaço, sabendo que
forma um ângulo de
com o vetor
, forma ângulo de
com o vetor
e ângulo obtuso com
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão nos pede. Precisamos encontrar um vetor
no espaço tridimensional com as seguintes características:
- Módulo (comprimento) de
. - Forma um ângulo de
com o vetor (eixo x). - Forma um ângulo de
com o vetor (eixo y). - Forma um ângulo obtuso com o vetor
(eixo z).
Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre vetores, que nos permite relacionar os ângulos entre eles.
Passo 2
Vamos representar o vetor
em componentes cartesianas:
Sabemos que o módulo de
é 3:
Passo 3
Agora, vamos usar o produto escalar para relacionar os ângulos dados com os eixos.
O produto escalar entre
e
é:
Como
, temos:
Passo 4
De maneira similar, o produto escalar entre
e
é:
Como
, temos:
Passo 5
Para o eixo z, a questão diz que o ângulo é obtuso, ou seja, maior que
. Isso implica que o cosseno desse ângulo será negativo.
Calculamos:
Como
e
, temos:
Passo 6
Sabemos que:
Substituindo os valores de
e
:
Simplificando:
Resposta
O vetor
desejado é:
Exercícios relacionados
Dados os vetores
e
:
(b) determinar o vetor tal que
.
(b) determinar o vetor
Dados os vetores
e
:
(a) determinar .
(a) determinar
Dados os pontos
e
:
(a) encontrar o vértice oposto a , no paralelogramo
,
(a) encontrar o vértice oposto a
Sejam A=(0,1,5), M=(1,2,0) e B pontos de \mathbb{R}^{3}.
(a) Sabendo que M é ponto médio de \overline{A B}, determine B;
(a) Sabendo que M é ponto médio de \overline{A B}, determine B;