Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A(2, 3, 1) B (1, -1, 1) e C (4, 1, -2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um vetor que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) ao plano formado pelos pontos $ A(2, 3, 1) $, $ B(1, -1, 1) $ e $ C(4, 1, -2) $. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especialmente o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estar no plano formado por três pontos. Se a gente tem três pontos no espaço, podemos formar dois vetores que estão nesse plano. No nosso caso, vamos criar dois vetores usando esses pontos:
  • Vetor $ \vec{AB} $ que vai de $ A $ para $ B $
  • Vetor $ \vec{AC} $ que vai de $ A $ para $ C $

Passo 3

Vamos calcular o vetor $ \vec{AB} $. Para isso, subtraímos as coordenadas de $ A $ das coordenadas de $ B $:
AB

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor $ \vec{AC} $:
AC

Passo 5

Com os vetores $ \vec{AB} = (-1, -4, 0) $ e $ \vec{AC} = (2, -2, -3) $ em mãos, vamos calcular o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais, ou seja, perpendicular ao plano que eles formam.
A fórmula do produto vetorial $ \vec{AB} \times \vec{AC} $ é:
AB = (-1, -4, 0)

Passo 6

Vamos calcular esse determinante:
AB times AC = i cdot -4 & 0 -2 & -3 - j cdot -1 & 0 2 & -3 + k cdot -1 & -4 2 & -2
Calculando cada parte:
i: (-4)(-3) - (0)(-2) = 12
j: (-1)(-3) - (0)(2) = 3
k: (-1)(-2) - (-4)(2) = 2 + 8 = 10
Então,
AB times AC = 12i - 3j + 10k = (12, -3, 10)

Resposta

Um vetor ortogonal ao plano é $ \vec{n} = (12,; -3,; 10) $.

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