Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A(2, 3, 1) B (1, -1, 1) e C (4, 1, -2).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um vetor que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) ao plano formado pelos pontos $ A(2, 3, 1) $, $ B(1, -1, 1) $ e $ C(4, 1, -2) $. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especialmente o produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estar no plano formado por três pontos. Se a gente tem três pontos no espaço, podemos formar dois vetores que estão nesse plano. No nosso caso, vamos criar dois vetores usando esses pontos:
- Vetor $ \vec{AB} $ que vai de $ A $ para $ B $
- Vetor $ \vec{AC} $ que vai de $ A $ para $ C $
Passo 3
Vamos calcular o vetor $ \vec{AB} $. Para isso, subtraímos as coordenadas de $ A $ das coordenadas de $ B $:
Passo 4
Agora, vamos calcular o vetor $ \vec{AC} $:
Passo 5
Com os vetores $ \vec{AB} = (-1, -4, 0) $ e $ \vec{AC} = (2, -2, -3) $ em mãos, vamos calcular o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais, ou seja, perpendicular ao plano que eles formam.
A fórmula do produto vetorial $ \vec{AB} \times \vec{AC} $ é:
Passo 6
Vamos calcular esse determinante:
Calculando cada parte:
Então,
Resposta
Um vetor ortogonal ao plano é $ \vec{n} = (12,; -3,; 10) $.