O que ocorre com as raízes da equação
Se o coeficiente
tende a zero e os coeficientes
ficam constantes?
Passo 1
Vamos resolver um problema sobre equações quadráticas! A questão nos pergunta o que acontece com as raízes da equação
quando o coeficiente
se aproxima de zero, enquanto
e
permanecem constantes. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender como as raízes das equações mudam conforme os coeficientes mudam.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma equação quadrática tem a forma
e suas soluções são encontradas usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
é chamado de discriminante. O discriminante nos diz quantas e que tipo de raízes a equação tem.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece quando
tende a zero. Se
se aproxima de zero, o termo
se torna muito pequeno, praticamente desaparecendo da equação. Então, a equação
se aproxima de:
Essa é uma equação linear, que é bem mais simples de resolver.
Passo 4
Resolvendo a equação linear
, temos:
Então, quando
tende a zero, a equação quadrática se transforma em uma equação linear com a solução
.
Passo 5
Voltando à fórmula de Bhaskara, se tentarmos substituir
, vemos que o denominador
se torna zero, o que não é possível (não podemos dividir por zero). Isso confirma que, quando
é zero, a equação deixa de ser quadrática e passa a ser linear, com apenas uma raiz real.
Resposta
Quando o coeficiente
tende a zero, a equação
se transforma em uma equação linear cuja única raiz é
.
Exercícios relacionados
Calcule o valor dos seguintes limites envolvendo infinito:
(f) .
(f)
Mostre que
é ortogonal a
sempre que
é uma constante. Dada uma função
derivável até pelo menos a primeira ordem:
a) Prove que tem norma 1
a) Prove que
Usando os limites fundamentais:
(j)
Determine a função inversa de cada uma das funções abaixo, atentando para os domínios e contradomínios:[^0]a)
,
b) ,
c) ,
d) ,
b)
c)
d)