Mostre que f'(t) é ortogonal a f(t) sempre que |f(t)| é uma constante. Dada uma função f'(t) derivável até pelo menos a primeira ordem:
a) Prove que G(t) = f(t) / || f(t) || tem norma 1

Passo 1

Vamos resolver a parte a) do exercício. O enunciado pede para provar que a função tem norma 1. Vamos usar conceitos de vetores e norma vetorial para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a norma de um vetor. A norma de um vetor v, denotada por , é o comprimento desse vetor. Ela é calculada usando a fórmula:
onde , , são as componentes do vetor v.

Passo 3

Agora, olhando para a função , ela é definida como o vetor dividido pela sua norma. Isso basicamente normaliza o vetor , ou seja, transforma em um vetor unitário (um vetor com comprimento 1).

Passo 4

Vamos calcular a norma de :

Passo 5

Usando a propriedade das normas, sabemos que:
onde k é um escalar e v é um vetor. Aplicando isso aqui, temos:

Resposta

Portanto, a norma de é 1, ou seja, .

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