Óleo, inicialmente a
, está sendo aquecido em um tanque agitado (perfeitamente misturado) por vapor saturado, que está condensando nas serpentinas de vapor a 40 psia. Se a taxa de transferência de calor for dada pela lei de Newton do aquecimento,
em que
é o calor transferido em unidades térmicas britânicas e
é o coeficiente de transferência de calor em unidades apropriadas, quanto tempo levará para a descarga do tanque subir de
para
? Qual é a temperatura máxima que pode ser atingida no tanque?
Dados:
Potência do motor
; eficiência de 0,75
Quantidade inicial de óleo no tanque
Taxa de escoamento do óleo que entra
na temperatura de
Taxa de descarga do óleo
em uma temperatura
póleo
Dados:
Potência do motor
Quantidade inicial de óleo no tanque
Taxa de escoamento do óleo que entra
Taxa de descarga do óleo
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um tanque com óleo que começa a 60°F e está sendo aquecido por vapor saturado. Queremos descobrir quanto tempo leva para a temperatura do óleo subir até 90°F e também qual é a temperatura máxima que o óleo pode atingir nesse processo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente a Lei de Newton do Resfriamento, que nos ajuda a entender como o calor é transferido entre o vapor e o óleo. Além disso, vamos precisar considerar a eficiência do motor, a quantidade de óleo no tanque, as taxas de entrada e saída do óleo, e as propriedades térmicas do óleo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a quantidade de calor que está sendo fornecida ao óleo pelo motor. Sabemos que a potência do motor é de 1 hp e que a eficiência é de 75%.
1 hp equivale a aproximadamente 2545 BTU/h. Então, a taxa de transferência de calor (
) é:
Passo 3
Agora, vamos montar a equação de balanço de energia para o óleo no tanque. Considerando que a quantidade de óleo permanece constante (já que a taxa de entrada é igual à taxa de saída), a mudança na temperatura do óleo depende do calor fornecido menos o calor perdido devido à saída do óleo mais frio.
A equação fica assim:
Onde:
-
é a quantidade de óleo no tanque (5000 lb) -
é a capacidade térmica do óleo (0,5 BTU/(lb·°F)) -
é a taxa de saída do óleo (1018 lb/h) -
é a temperatura do óleo no tanque -
é a temperatura do óleo que entra (60°F)
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para resolver a taxa de variação da temperatura:
Calculando o termo constante:
Então:
Dividindo toda a equação por 2500 para facilitar:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante. A solução geral é:
Onde:
-
é a temperatura inicial (60°F) -
é a temperatura de estado estacionário -
Substituindo os valores:
Passo 5
Queremos saber quanto tempo leva para a temperatura chegar a 90°F. Vamos igualar a equação de
a 90°F e resolver para
:
Subtraindo 63,7 de ambos os lados:
Dividindo por -3,7:
Aqui encontramos um problema: a exponencial nunca é negativa, ou seja, não existe um tempo
que satisfaça essa equação. Isso significa que, com os dados fornecidos, a temperatura do óleo nunca alcançará 90°F.
Resposta
Não é possível que a temperatura do óleo atinja 90 °F com os dados fornecidos. A temperatura máxima que o tanque pode atingir é aproximadamente 63,7 °F.