Óleo, inicialmente a 60^circ F, está sendo aquecido em um tanque agitado (perfeitamente misturado) por vapor saturado, que está condensando nas serpentinas de vapor a 40 psia. Se a taxa de transferência de calor for dada pela lei de Newton do aquecimento,
dotQ=d Qd t=h(T vapor -T o<=o )
em que Q é o calor transferido em unidades térmicas britânicas e h é o coeficiente de transferência de calor em unidades apropriadas, quanto tempo levará para a descarga do tanque subir de 60^circ F para 90^circ F? Qual é a temperatura máxima que pode ser atingida no tanque?
Dados:
Potência do motor =1 hp; eficiência de 0,75
Quantidade inicial de óleo no tanque =5000 lb
Taxa de escoamento do óleo que entra =1018 lb / h na temperatura de 60^circ F
Taxa de descarga do óleo =1018 lb / h em uma temperatura T
h=291 Btu /(h)(ft^2)( ^circ F)
C póleo =0,5 Btu /(lb)( ^circ F)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um tanque com óleo que começa a 60°F e está sendo aquecido por vapor saturado. Queremos descobrir quanto tempo leva para a temperatura do óleo subir até 90°F e também qual é a temperatura máxima que o óleo pode atingir nesse processo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente a Lei de Newton do Resfriamento, que nos ajuda a entender como o calor é transferido entre o vapor e o óleo. Além disso, vamos precisar considerar a eficiência do motor, a quantidade de óleo no tanque, as taxas de entrada e saída do óleo, e as propriedades térmicas do óleo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a quantidade de calor que está sendo fornecida ao óleo pelo motor. Sabemos que a potência do motor é de 1 hp e que a eficiência é de 75%.
1 hp equivale a aproximadamente 2545 BTU/h. Então, a taxa de transferência de calor ( dotQ) é:
dotQ = Potência do motor times Eficiência = 2545 , BTU/h times 0,75 = 1908,75 , BTU/h êê

Passo 3

Agora, vamos montar a equação de balanço de energia para o óleo no tanque. Considerando que a quantidade de óleo permanece constante (já que a taxa de entrada é igual à taxa de saída), a mudança na temperatura do óleo depende do calor fornecido menos o calor perdido devido à saída do óleo mais frio.
A equação fica assim:
dotQ = m cdot Cp cdot dTdt + dotmout cdot Cp cdot (T - Tin)
Onde:
  • m é a quantidade de óleo no tanque (5000 lb)
  • Cp é a capacidade térmica do óleo (0,5 BTU/(lb·°F))
  • dotmout é a taxa de saída do óleo (1018 lb/h)
  • T é a temperatura do óleo no tanque
  • Tin é a temperatura do óleo que entra (60°F)
Substituindo os valores:
1908,75 = 5000 times 0,5 times dTdt + 1018 times 0,5 times (T - 60)
Simplificando:
1908,75 = 2500 dTdt + 509 (T - 60)

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para resolver a taxa de variação da temperatura:
2500 dTdt + 509 T = 1908,75 + 509 times 60
Calculando o termo constante:
509 times 60 = 30540
Então:
2500 dTdt + 509 T = 1908,75 + 30540 = 32448,75
Dividindo toda a equação por 2500 para facilitar:
dTdt + 5092500 T = 32448,752500
dTdt + 0,2036 T = 12,9795
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante. A solução geral é:
T(t) = (T0 - Tss) e^-kt + Tss
Onde:
  • T0 é a temperatura inicial (60°F)
  • Tss = 12,97950,2036 approx 63,7°F é a temperatura de estado estacionário
  • k = 0,2036 , h^-1
Substituindo os valores:
T(t) = (60 - 63,7) e^-0,2036 t + 63,7 = -3,7 e^-0,2036 t + 63,7

Passo 5

Queremos saber quanto tempo leva para a temperatura chegar a 90°F. Vamos igualar a equação de T(t) a 90°F e resolver para t:
90 = -3,7 e^-0,2036 t + 63,7
Subtraindo 63,7 de ambos os lados:
26,3 = -3,7 e^-0,2036 t
Dividindo por -3,7:
-7,108 = e^-0,2036 t
Aqui encontramos um problema: a exponencial nunca é negativa, ou seja, não existe um tempo t que satisfaça essa equação. Isso significa que, com os dados fornecidos, a temperatura do óleo nunca alcançará 90°F.

Resposta

Não é possível que a temperatura do óleo atinja 90 °F com os dados fornecidos. A temperatura máxima que o tanque pode atingir é aproximadamente 63,7 °F.

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