Um óleo de massa específica igual a 0,85 g / cm^3 escoa por uma canalização de 10 cm de diâmetro. A tensão de cisalhamento na parede da canalização é de 3,2 N / m^2 e o perfil de velocidade é dado por v=2-800 r^2(m / s), em que r é a distância radial medida a partir do eixo da tubulação. Qual a viscosidade cinemática do óleo?
Resp.: 4,7 times 10^-5 m^2 / s

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um óleo com massa específica de 0,85 g/cm^3 que está escoando por uma tubulação de 10 cm de diâmetro. Queremos descobrir a viscosidade cinemática desse óleo. Para isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica dos fluidos, como tensão de cisalhamento, perfil de velocidade e a relação entre viscosidade cinemática e viscosidade dinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a massa específica de 0,85 g/cm^3 para unidades do Sistema Internacional (SI). Sabemos que:
1 g/cm^3 = 1000 kg/m^3
Então,
0,85 g/cm^3 = 0,85 times 1000 = 850 kg/m^3

Passo 3

A tensão de cisalhamento na parede da tubulação é dada por tau = 3,2 N/m^2. A viscosidade cinemática ( nu) é relacionada à viscosidade dinâmica ( mu) e à massa específica ( rho) pela fórmula:
nu = murho
Então, precisamos encontrar a viscosidade dinâmica primeiro.

Passo 4

O perfil de velocidade é dado por:
v = 2 - 800 r^2 m/s
Aqui, r é a distância radial a partir do eixo da tubulação. Na parede da tubulação, r = D2 = 10 cm2 = 5 cm = 0,05 m.
Vamos calcular a velocidade na parede:
vparede = 2 - 800 (0,05)^2 = 2 - 800 times 0,0025 = 2 - 2 = 0 m/s
Isso faz sentido, já que na parede a velocidade é zero devido à condição de aderência.

Passo 5

Para encontrar a viscosidade dinâmica, usamos a relação entre tensão de cisalhamento e a derivada da velocidade em relação a r:
tau = mu ( dvdr )
Primeiro, calculamos a derivada da velocidade:
dvdr = ddr ( 2 - 800 r^2 ) = -1600 r

Passo 6

Na parede ( r = 0,05 m), a derivada fica:
dvdr |r=0,05 = -1600 times 0,05 = -80 s^-1
A tensão de cisalhamento é positiva, então:
tau = mu times 80 Rightarrow mu = tau80 = 3,280 = 0,04 Pa cdot s

Passo 7

Agora, usamos a relação entre viscosidade cinemática e dinâmica:
nu = murho = 0,04850 approx 4,7 times 10^-5 m^2/s

Resposta

A viscosidade cinemática do óleo é nu = 4,7 times 10^-5 m^2/s.

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