Uma esfera de alumínio que pesa 6 kg e inicialmente à temperatura de 350^circ C, é subitamente imersa num fluido a 30^circ C com um coeficiente de convecção de 60 W / m 2. K. Calcule o tempo necessário para arrefecer a esfera até 100^circ C. Considerar as propriedades termofísicas como: Resposta: t=3,09 segundos
rr C=900 J / kg cdot K, & rho=2700 kg / m^3, k=205 W / m cdot K & (PU

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma esfera de alumínio que está esquentadíssima e é colocada num líquido mais frio. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo a esfera leva para esfriar de até . Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por convecção e propriedades térmicas dos materiais. Vamos precisar das informações sobre a massa da esfera, a capacidade térmica, a densidade, a condutividade térmica e o coeficiente de convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia que precisa ser removida da esfera para baixarmos sua temperatura de Q = m cdot C cdot De para Q = 6 , kg times 900 , Jkg cdot K times 250 , K = 1.350.000 , J . Isso é feito usando a fórmula da energia térmica:
Onde:
  • é a energia térmica (em joules),
  • é a massa da esfera (6 kg),
  • é a capacidade térmica (900 J/kg·K),
  • é a variação de temperatura (350 - 100 = 250°C).
Vamos calcular:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a taxa de transferência de calor por convecção. A fórmula para isso é:
dQdt = h cdot A cdot De
Onde:
  • m = rho cdot V Rightarrow V = mrho = 6 , kg2700 , kgm^3 = 0,002222 , m^3 é a taxa de transferência de calor (W, ou J/s),
  • V = 43 pi r^3 Rightarrow r = (3V4pi)^1/3 = (3 times 0,0022224pi)^1/3 approx 0,086 , m é o coeficiente de convecção (60 W/m²·K),
  • A = 4pi r^2 = 4pi (0,086)^2 approx 0,093 , m^2 é a área da superfície da esfera,
  • é a diferença de temperatura entre a esfera e o fluido (350 - 30 = 320°C).
Primeiro, vamos calcular a área da esfera. Para isso, precisamos do raio. Mas como não temos o raio diretamente, podemos relacionar a massa, a densidade e o volume:
Como o volume de uma esfera é:
Agora, a área da superfície:

Passo 4

Com a área calculada, podemos agora encontrar a taxa de transferência de calor:
dQdt = 60 , Wm^2 cdot K times 0,093 , m^2 times 320 , K approx 1795,2 , W
Isso significa que aproximadamente 1795,2 J de energia estão sendo removidos por segundo.

Passo 5

Finalmente, para encontrar o tempo necessário para remover os 1.350.000 J, usamos:
t = QdQdt = 1.350.000 , J1795,2 , J/s approx 752 , segundos
No entanto, parece que há uma discrepância com a resposta fornecida ( segundos). Isso sugere que talvez haja uma simplificação ou suposição adicional no problema original, como considerar apenas a transferência de calor superficial imediata sem levar em conta a capacidade térmica completa. Mas, seguindo os passos acima com os dados fornecidos, o tempo calculado é de aproximadamente 752 segundos.

Resposta

O tempo necessário para arrefecer a esfera até é de aproximadamente 752 segundos.

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