omega0=0 - Uma bolinha de gude sólida de massa m e raio r rola sem deslizar sobre um trilho mostradb a seguir, - tendo partido do repousc em algum ponto do trecho retilíneo do trilho. Qual é é altura minima h, medida à partir da base do trilho, de onde devemos soltar a bolinha para que ela näq perca o contato com o trilho no ponto mais alto da curva? 0 raio da curva é R e considere R>>r.
Sobservação: Considere em todas as questöes numéricas g=10,0 m / s^2

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma bolinha de gude que rola sem deslizar sobre um trilho que tem uma curva no topo, tipo um looping. A bolinha parte do repouso de uma certa altura e a gente quer descobrir qual é a altura mínima que a gente precisa soltar a bolinha para que ela não perca o contato com o trilho no ponto mais alto da curva. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica, movimento circular e rotação sem deslizar. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na conservação da energia. No ponto de partida, a bolinha tem energia potencial Etotal = U + Ktrans + Krot devido à altura e não tem energia cinética porque está parada. Conforme ela desce pelo trilho e chega no ponto mais alto da curva, parte dessa energia potencial se transforma em energia cinética translacional (de movimento linear) e energia cinética rotacional (de rotação). A fórmula geral da energia mecânica total é:
Onde:
  • (energia potencial)
  • (energia cinética translacional)
  • (energia cinética rotacional)
Para uma bolinha sólida, o momento de inércia é , e como rola sem deslizar, a velocidade angular está relacionada com a velocidade linear por .

Passo 3

Agora, vamos pensar nas forças no ponto mais alto da curva. Para a bolinha não perder o contato com o trilho, a força centrípeta que mantém a bolinha no caminho da curva deve ser pelo menos igual à força gravitacional no ponto mais alto. A força centrípeta é dada por:
Fcentrípeta = mv^2R í
E a força gravitacional é mv^2R = mg . A condição para não perder o contato é que a força centrípeta seja igual à força gravitacional:
v^2 = gR
Simplificando, temos:

Passo 4

Vamos voltar à conservação da energia. No ponto de partida:
mgh = 12mv^2 + 12Iomega^2 + mgh'
Onde mgh = 12mv^2 + 12 ( 25mr^2 ) ( vr )^2 + mg(2R) é a altura no ponto mais alto da curva. Como estamos medindo mgh = 12mv^2 + 15mv^2 + 2mgR a partir da base, gh = ( 12 + 15 )v^2 + 2gR .
Substituindo gh = 710v^2 + 2gR e gh = 710gR + 2gR :
gh = 2710gR
Simplificando:
h = 2710R
Lembrando que :
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

A altura mínima de onde devemos soltar a bolinha é , ou seja, .

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