- Uma bolinha de gude sólida de massa
e raio r rola sem deslizar sobre um trilho mostradb a seguir, - tendo partido do repousc em algum ponto do trecho retilíneo do trilho. Qual é é altura minima h, medida à partir da base do trilho, de onde devemos soltar a bolinha para que ela näq perca o contato com o trilho no ponto mais alto da curva? 0 raio da curva é
e considere
.
Sobservação: Considere em todas as questöes numéricas
Sobservação: Considere em todas as questöes numéricas
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma bolinha de gude que rola sem deslizar sobre um trilho que tem uma curva no topo, tipo um looping. A bolinha parte do repouso de uma certa altura
e a gente quer descobrir qual é a altura mínima que a gente precisa soltar a bolinha para que ela não perca o contato com o trilho no ponto mais alto da curva. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica, movimento circular e rotação sem deslizar. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na conservação da energia. No ponto de partida, a bolinha tem energia potencial
devido à altura
e não tem energia cinética porque está parada. Conforme ela desce pelo trilho e chega no ponto mais alto da curva, parte dessa energia potencial se transforma em energia cinética translacional (de movimento linear) e energia cinética rotacional (de rotação). A fórmula geral da energia mecânica total é:
Onde:
-
(energia potencial) -
(energia cinética translacional) -
(energia cinética rotacional)
Para uma bolinha sólida, o momento de inércia
é
, e como rola sem deslizar, a velocidade angular
está relacionada com a velocidade linear
por
.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas forças no ponto mais alto da curva. Para a bolinha não perder o contato com o trilho, a força centrípeta que mantém a bolinha no caminho da curva deve ser pelo menos igual à força gravitacional no ponto mais alto. A força centrípeta é dada por:
E a força gravitacional é
. A condição para não perder o contato é que a força centrípeta seja igual à força gravitacional:
Simplificando, temos:
Passo 4
Vamos voltar à conservação da energia. No ponto de partida:
Onde
é a altura no ponto mais alto da curva. Como estamos medindo
a partir da base,
.
Substituindo
e
:
Simplificando:
Lembrando que
:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A altura mínima
de onde devemos soltar a bolinha é
, ou seja,
.