Uma partícula de massa m colide com outra partícula de mesma massa. Antes da colisão, a primeira partícula está se movendo ao longo do eixo x com velocidade 2 v e a segunda partícula se encontra em repouso. Depois da colisão a segunda partícula está se movendo em uma direção de 45^circ abaixo do eixo x e com velocidade raiz2 v. Encontre as expressões para o momento linear total do sistema antes e depois da colisão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre colisão de partículas e momento linear. O momento linear é uma quantidade que depende da massa e da velocidade de um objeto, e é importante para entender como os objetos se comportam antes e depois de uma colisão. A gente vai precisar usar as fórmulas de momento linear e decompor vetores de velocidade em componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento linear total antes da colisão. Temos duas partículas, ambas com massa p = m cdot v .
  • A primeira partícula está se movendo com velocidade p1 = m cdot 2v = 2mv , x ao longo do eixo p2 = m cdot 0 = 0 .
  • A segunda partícula está em repouso, ou seja, velocidade zero.
O momento linear ( ) é dado por:
Então, o momento da primeira partícula antes da colisão é:
E o momento da segunda partícula é zero:

Passo 3

Agora, somamos os momentos das duas partículas para obter o momento total antes da colisão:
ptotal antes = p1 + p2 = 2mv , x + 0 = 2mv , x

Passo 4

Depois da colisão, a segunda partícula está se movendo a vx = raiz2v cdot cos(45^circ) = raiz2v cdot raiz22 = v abaixo do eixo vy = raiz2v cdot sin(45^circ) = raiz2v cdot raiz22 = v com velocidade vy = -v . Vamos decompor essa velocidade em componentes e .
Usando trigonometria:
Mas como está abaixo do eixo , a componente será negativa:

Passo 5

Agora, calculamos o momento linear da segunda partícula após a colisão:
p2' = m cdot (vx , x + vy , y) = m cdot (v , x - v , y)
A primeira partícula, após a colisão, vamos supor que sua velocidade seja . Porém, como a questão não fornece informações sobre ela, geralmente assume-se conservação do momento total. Mas para este exercício, vamos focar no que foi pedido: o momento total antes e depois.

Passo 6

Para encontrar o momento total após a colisão, somamos os momentos das duas partículas:
ptotal depois = p1' + p2'
Sem a velocidade da primeira partícula após a colisão, fica complicado, então assumiremos que a primeira partícula permanece com seu momento original. Assim:
ptotal depois = 2mv , x + m(v , x - v , y) = (2mv + mv) , x - mv , y = 3mv , x - mv , y

Resposta

O momento linear total do sistema antes da colisão é e após a colisão é .

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