Uma onda electromagnetica plana, que se propaga no ar, é caracterizada por
. Determine
(a) O valor médio do vector de Poynting;
(b) A potência média que atravessa um quadrado de 2 m de lado perpendicular ao eixo dos xx .
(a) O valor médio do vector de Poynting;
(b) A potência média que atravessa um quadrado de 2 m de lado perpendicular ao eixo dos xx .
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma onda eletromagnética plana que se propaga no ar, e essa onda é descrita pela equação do campo elétrico:
Nosso objetivo aqui é calcular duas coisas:
(a) O valor médio do vetor de Poynting, que nos dá uma ideia da direção e da intensidade da energia que a onda está transportando.
(b) A potência média que atravessa um quadrado de 2 metros de lado, perpendicular ao eixo dos x.
(a) O valor médio do vetor de Poynting, que nos dá uma ideia da direção e da intensidade da energia que a onda está transportando.
(b) A potência média que atravessa um quadrado de 2 metros de lado, perpendicular ao eixo dos x.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o vetor de Poynting e como ele está relacionado com os campos elétrico e magnético em uma onda eletromagnética.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o vetor de Poynting. Ele é definido por:
Onde:
-
é o vetor de Poynting, -
é o campo elétrico, -
é o campo magnético, -
é a permeabilidade do vácuo, aproximadamente .
O vetor de Poynting nos dá a densidade de fluxo de energia da onda eletromagnética.
Passo 3
Agora, para encontrar o vetor de Poynting, precisamos do campo magnético
. Sabemos que, em uma onda eletromagnética plana, os campos elétrico e magnético estão relacionados por:
Onde:
-
é a velocidade da onda no meio, que no ar é aproximadamente a velocidade da luz , -
é o vetor de propagação da onda.
No entanto, para simplificar, sabemos que a relação entre
e
em uma onda no vácuo ou no ar é:
Então, podemos substituir
na equação do vetor de Poynting:
Passo 4
Calculando o produto cruzado
:
Dado que
está na direção
e
estará na direção perpendicular, podemos simplificar o produto cruzado para encontrar a direção de
.
No nosso caso:
Como
e
estão na mesma direção, o produto cruzado será zero, o que sugere que precisamos reconsiderar a direção de propagação.
Na verdade, a direção de propagação da onda deve ser perpendicular aos campos
e
. Vamos supor que a onda se propaga na direção
, então
estará na direção
.
Portanto:
Passo 5
Agora, recalculando o vetor de Poynting:
Calculando o produto cruzado:
Então:
Passo 6
Agora, para encontrar o valor médio do vetor de Poynting, precisamos considerar a média temporal, mas como a função exponencial não tem dependência temporal, o valor médio será simplesmente o valor da expressão acima.
Então, o valor médio do vetor de Poynting é:
Passo 7
Para a parte (b), queremos a potência média que atravessa um quadrado de 2 metros de lado, perpendicular ao eixo dos x. A potência
pode ser calculada integrando o vetor de Poynting sobre a área
:
Como a superfície é perpendicular ao eixo dos x,
estará na direção
. Portanto, temos:
Assumindo que a área está localizada em um ponto onde os termos exponenciais são constantes ou que estamos considerando uma média sobre a área, simplificamos para:
Com
, temos:
Resposta
(a) O valor médio do vetor de Poynting é:
(b) A potência média que atravessa o quadrado de 2 metros de lado é:
Exercícios relacionados
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.
a) O que se pode dizer sobre as direções dos campos elétrico e magnético dessa onda?
b) Se a frequência da onda é de 30 MHz qual é o valor do comprimento de onda
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Na regulagem de maior potência, um forno de micro-ondas projeta 1,00kW de micro-ondas em uma área de
por
.
a) Qual é a intensidade da radiação produzida pelo forno, em ?
Resp.:
b) Calcule a amplitude de vetor campo elétrico da radiação produzida.
Resp.:
c) Calcule a amplitude de vetor campo magnético da radiação produzida.
Resp.:
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Resp.:
b) Calcule a amplitude de vetor campo elétrico da radiação produzida.
Resp.:
c) Calcule a amplitude de vetor campo magnético da radiação produzida.
Resp.:
Em uma onda eletromagnética plana, no vácuo, o campo elétrico oscila senoidalmente com frequência de
e amplitude de
.
a) Qual o valor do comprimento de onda?
b) Qual é a amplitude do campo magnético nesta onda?
c) Mostre que a densidade média de energia do campo elétrico é igual a densidade média de energia do campo magnético.
a) Qual o valor do comprimento de onda?
b) Qual é a amplitude do campo magnético nesta onda?
c) Mostre que a densidade média de energia do campo elétrico é igual a densidade média de energia do campo magnético.
Atkins 7B.7 (pg. 312)
Suponha que o estado do átomo em vibração no problema anterior é descrito pela função de onda . Qual é a posição mais provável de encontrar a partícula?
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