Uma onda electromagnetica plana, que se propaga no ar, é caracterizada por E=2 e^-(6 x+8 y) z(V / m). Determine
(a) O valor médio do vector de Poynting;
(b) A potência média que atravessa um quadrado de 2 m de lado perpendicular ao eixo dos xx .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma onda eletromagnética plana que se propaga no ar, e essa onda é descrita pela equação do campo elétrico:
E = 2 e^-(6x + 8y) z , (V/m)
Nosso objetivo aqui é calcular duas coisas:
(a) O valor médio do vetor de Poynting, que nos dá uma ideia da direção e da intensidade da energia que a onda está transportando.
(b) A potência média que atravessa um quadrado de 2 metros de lado, perpendicular ao eixo dos x.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o vetor de Poynting e como ele está relacionado com os campos elétrico e magnético em uma onda eletromagnética.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o vetor de Poynting. Ele é definido por:
S = 1mu0 E times B
Onde:
  • é o vetor de Poynting,
  • é o campo elétrico,
  • é o campo magnético,
  • é a permeabilidade do vácuo, aproximadamente .
O vetor de Poynting nos dá a densidade de fluxo de energia da onda eletromagnética.

Passo 3

Agora, para encontrar o vetor de Poynting, precisamos do campo magnético B = 1v k times E . Sabemos que, em uma onda eletromagnética plana, os campos elétrico e magnético estão relacionados por:
B = Ec
Onde:
  • S = 1mu0 E times ( Ec ) é a velocidade da onda no meio, que no ar é aproximadamente a velocidade da luz ,
  • é o vetor de propagação da onda.
No entanto, para simplificar, sabemos que a relação entre e em uma onda no vácuo ou no ar é:
Então, podemos substituir na equação do vetor de Poynting:

Passo 4

Calculando o produto cruzado E = 2 e^-(6x + 8y) z :
Dado que B = Ec = 2 e^-(6x + 8y)3 times 10^8 z está na direção B = Ec y = 2 e^-(6x + 8y)3 times 10^8 y e estará na direção perpendicular, podemos simplificar o produto cruzado para encontrar a direção de .
No nosso caso:
Como e estão na mesma direção, o produto cruzado será zero, o que sugere que precisamos reconsiderar a direção de propagação.
Na verdade, a direção de propagação da onda deve ser perpendicular aos campos e . Vamos supor que a onda se propaga na direção , então estará na direção .
Portanto:

Passo 5

Agora, recalculando o vetor de Poynting:
S = 1mu0 E times B = 1mu0 ( 2 e^-(6x + 8y) z ) times ( 2 e^-(6x + 8y)3 times 10^8 y )
Calculando o produto cruzado:
z times y = -x
Então:
S = 1mu0 ( 2 times 23 times 10^8 e^-2(6x + 8y) ) (-x)
S = -43 times 10^8 mu0 e^-12x -16y x

Passo 6

Agora, para encontrar o valor médio do vetor de Poynting, precisamos considerar a média temporal, mas como a função exponencial não tem dependência temporal, o valor médio será simplesmente o valor da expressão acima.
Então, o valor médio do vetor de Poynting é:
lang<= S rang<= = -43 times 10^8 mu0 e^-12x -16y x

Passo 7

Para a parte (b), queremos a potência média que atravessa um quadrado de 2 metros de lado, perpendicular ao eixo dos x. A potência P = integral S cdot dA pode ser calculada integrando o vetor de Poynting sobre a área P = integral lang<= S rang<= cdot x , dA = integral -43 times 10^8 mu0 e^-12x -16y dA :
P = -43 times 10^8 mu0 e^-12x -16y times A
Como a superfície é perpendicular ao eixo dos x, P = -43 times 10^8 mu0 e^-12x -16y times 4 estará na direção P = -163 times 10^8 mu0 e^-12x -16y , W . Portanto, temos:
Assumindo que a área está localizada em um ponto onde os termos exponenciais são constantes ou que estamos considerando uma média sobre a área, simplificamos para:
Com , temos:

Resposta

(a) O valor médio do vetor de Poynting é:
lang<= S rang<= = -43 times 10^8 mu0 e^-12x -16y x , (W/m^2)
(b) A potência média que atravessa o quadrado de 2 metros de lado é:
P = -163 times 10^8 mu0 e^-12x -16y , W

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