Atkins 7B.7 (pg. 312)
Suponha que o estado do átomo em vibração no problema anterior é descrito pela função de onda psi(x)=N x e^-x^2 / 2 a^2. Qual é a posição mais provável de encontrar a partícula?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve funções de onda e probabilidade na mecânica quântica. A gente precisa descobrir onde é mais provável encontrar a partícula, ou seja, qual posição x maximiza a probabilidade. Para isso, vamos trabalhar com a função de onda dada: .

Passo 2

Primeiro, é importante entender que a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição específica é dada pelo quadrado da função de onda. Então, vamos calcular |psi(x)|^2 = (N x e^-x^2 / 2 a^2)^2 = N^2 x^2 e^-x^2 / a^2 :

Passo 3

Agora, queremos encontrar o valor de P(x) = x^2 e^-x^2 / a^2 que maximiza essa função de probabilidade. Isso significa que precisamos encontrar o máximo de . Como é uma constante positiva, podemos ignorá-lo na hora de maximizar. Então, vamos focar em maximizar:

Passo 4

Para encontrar o máximo de dPdx = ddx(x^2 e^-x^2 / a^2) = 0 , vamos calcular a derivada de em relação a e igualar a zero:

Passo 5

Aplicando a regra do produto para derivar dPdx = 2x e^-x^2 / a^2 + x^2 (-2xa^2) e^-x^2 / a^2 = 0 :
2x e^-x^2 / a^2 - 2x^3a^2 e^-x^2 / a^2 = 0
Simplificando:

Passo 6

Fatorando 2x e^-x^2 / a^2 (1 - x^2a^2) = 0 :
Isso nos dá duas possibilidades:

Passo 7

Vamos analisar as soluções:
  • Para : , o que significa que a probabilidade é zero nesse ponto.
  • Para : , que são valores positivos máximos.

Passo 8

Portanto, os pontos onde a probabilidade é máxima são e . Esses são os pontos mais prováveis para encontrar a partícula.

Resposta

A posição mais provável de encontrar a partícula é em e .

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