Uma onda eletromagnética está se propagando em um meio com constante dielétrica
epsilonr=140
, permeabilidade magnética relativa
mur=6
e condutividade
sigma=3 S / m
. O campo elétrico é dado por
E(z, t)=7 e^-alpha z sin (2 pi times 10^5 t-beta z) x V / m
. Determine a constante de decaimento da onda no meio em Np / m
Escolha uma opção:
a.
3,4
b.
1,6
c.
2,6
d.
2,1

3,0
f.
3,8
g.
1,1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma onda eletromagnética que está se propagando em um meio com certas propriedades: constante dielétrica relativa ( epsilonr = 140), permeabilidade magnética relativa ( mur = 6) e condutividade ( sigma = 3 , S/m). A gente também tem a expressão do campo elétrico da onda. O que a gente precisa encontrar é a constante de decaimento da onda nesse meio, medida em Nepers por metro ( Np/m). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ondas eletromagnéticas em meios condutores, como a relação entre a constante de decaimento, a condutividade, a frequência da onda e as propriedades do meio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a constante de decaimento ( alpha) está relacionada à atenuação da onda à medida que ela se propaga pelo meio. Ela indica o quanto a amplitude da onda diminui por unidade de distância. Para encontrar alpha, precisamos usar a relação que conecta alpha, a condutividade ( sigma), a frequência da onda ( omega), a permeabilidade magnética ( mu) e a constante dielétrica ( epsilon).

Passo 3

A frequência da onda elétrica é dada na expressão do campo elétrico: E(z, t) = 7 e^-alpha z sin(2pi times 10^5 t - beta z) x , V/m. Aqui, a frequência angular ( omega) é 2pi times 10^5 , rad/s.

Passo 4

Vamos lembrar que a permeabilidade magnética no meio ( mu) é dada por:
mu = mu0 mur
onde mu0 é a permeabilidade do vácuo ( 4pi times 10^-7 , H/m) e mur é a permeabilidade relativa (no caso, 6). Então:
mu = 4pi times 10^-7 times 6 = 2.4 times 10^-6 , H/m

Passo 5

A constante dielétrica no meio ( epsilon) é:
epsilon = epsilon0 epsilonr
onde epsilon0 é a constante dielétrica do vácuo ( 8.85 times 10^-12 , F/m) e epsilonr é a constante dielétrica relativa ( 140). Então:
epsilon = 8.85 times 10^-12 times 140 = 1.239 times 10^-9 , F/m

Passo 6

Agora, a relação que conecta a constante de decaimento ( alpha) com as propriedades do meio é dada por:
alpha = sigma2 raizmuepsilon
Essa fórmula vem das equações de Maxwell para ondas eletromagnéticas em meios condutores. Ela mostra como a condutividade e as propriedades do meio influenciam na atenuação da onda.

Passo 7

Vamos calcular raizmuepsilon:
raizmuepsilon = raiz2.4 times 10^-61.239 times 10^-9 = raiz1937.01 approx 44.03 , (sem unidades)

Passo 8

Agora, substituímos os valores na fórmula de alpha:
alpha = 32 times 44.03 = 1.5 times 44.03 = 66.05 , Np/m

Resposta

A constante de decaimento da onda no meio é aproximadamente 66,05 , Np/m.

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