Uma onda plana de 2 MHz propaga em um material não magnético com perdas onde a amplitude é reduzida em 33 % a cada 1 metro. A diferença de fase entre os campos magnético e elétrico é de 18 graus. Encontre a permissividade elétrica relativa
epsilonr
do meio.
Escolha uma opção:
a.
650,6
○ b.
712,8

774,4
d.
688,5
e.
600,0
f.
571,8
g.
617,6

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma onda plana de 2 MHz que se propaga em um material não magnético que apresenta perdas, ou seja, sua amplitude diminui 33% a cada 1 metro. Além disso, a diferença de fase entre os campos magnético e elétrico é de 18 graus. Nosso objetivo aqui é descobrir a permissividade elétrica relativa, que é representada por epsilonr, desse material.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de propagação de ondas em meios dissipativos, usar equações que relacionam a atenuação, frequência e diferença de fase aos parâmetros elétricos do meio.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a atenuação da onda. A questão diz que a amplitude é reduzida em 33% a cada 1 metro. Isso significa que, após 1 metro, a amplitude é 67% da original.
Matematicamente, podemos representar isso usando a expressão de decaimento exponencial da amplitude:
A(x) = A0 e^-alpha x
Onde:
  • A(x) é a amplitude após a distância x,
  • A0 é a amplitude inicial,
  • alpha é o coeficiente de atenuação.
Sabemos que A(1) = 0,67 A0, então podemos escrever:
0,67 A0 = A0 e^-alpha cdot 1

Passo 3

Vamos resolver para o coeficiente de atenuação alpha:
Dividindo ambos os lados por A0:
0,67 = e^-alpha
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para alpha:
ln(0,67) = -alpha
Então:
alpha = -ln(0,67) approx 0,4005 , m^-1

Passo 4

Agora, vamos relacionar a atenuação alpha e a diferença de fase phi à permissividade elétrica relativa epsilonr. Em um meio dissipativo não magnético, temos as seguintes relações:
gamma = alpha + jbeta
Onde gamma é a constante de propagação, alpha é a atenuação e beta é a constante de fase. A relação entre alpha e beta pode ser expressa pelo ângulo de diferença de fase phi:
tan(phi) = betaalpha
Dado que phi = 18^circ, podemos calcular beta:
beta = alpha tan(phi) = 0,4005 times tan(18^circ) approx 0,4005 times 0,3249 approx 0,1302 , m^-1

Passo 5

A constante de propagação gamma também está relacionada à frequência f e à permissividade do meio epsilon através da expressão:
gamma = jomega raizmu epsilon
Onde:
  • omega = 2pi f,
  • mu = mu0 (já que o material é não magnético),
  • epsilon = epsilon0 epsilonr.
Separando em partes real e imaginária, temos:
alpha = omega raizmu epsilon2 ( raiz1 + ( epsilon''epsilon' )^2 - 1 )^1/2
E
beta = omega raizmu epsilon2 ( raiz1 + ( epsilon''epsilon' )^2 + 1 )^1/2
Mas para simplificar, podemos usar a relação beta = raizomega^2 mu epsilon - alpha^2.

Passo 6

Rearranjando a equação para encontrar epsilonr:
beta = raizomega^2 mu epsilon - alpha^2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
beta^2 = omega^2 mu epsilon - alpha^2
Isolando epsilon:
epsilon = beta^2 + alpha^2omega^2 mu
Sabemos que epsilon = epsilon0 epsilonr, então:
epsilonr = beta^2 + alpha^2omega^2 mu epsilon0

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores:
Primeiro, a frequência:
f = 2 , MHz = 2 times 10^6 , Hz
A pulsação é:
omega = 2pi f = 2pi times 2 times 10^6 approx 1,2566 times 10^7 , rad/s
Valores conhecidos:
mu = mu0 = 4pi times 10^-7 , H/m
epsilon0 = 8,854 times 10^-12 , F/m
alpha = 0,4005 , m^-1
beta = 0,1302 , m^-1
Substituindo na fórmula de epsilonr:
epsilonr = (0,1302)^2 + (0,4005)^2(1,2566 times 10^7)^2 times 4pi times 10^-7 times 8,854 times 10^-12

Passo 8

Calculando o numerador:
(0,1302)^2 + (0,4005)^2 = 0,01693 + 0,1604 = 0,1773
Calculando o denominador:
(1,2566 times 10^7)^2 = 1,578 times 10^14
4pi times 10^-7 times 8,854 times 10^-12 approx 1,112 times 10^-17
1,578 times 10^14 times 1,112 times 10^-17 = 1,755 times 10^-3
Então:
epsilonr = 0,17731,755 times 10^-3 approx 101,04

Passo 9

Parece que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos refazer os cálculos com mais atenção.
Primeiro, calculando o denominador corretamente:
omega^2 mu epsilon0 = (1,2566 times 10^7)^2 times 4pi times 10^-7 times 8,854 times 10^-12
Calculando omega^2:
(1,2566 times 10^7)^2 approx 1,578 times 10^14
Multiplicando por 4pi times 10^-7:
1,578 times 10^14 times 4pi times 10^-7 approx 1,578 times 10^14 times 1,2566 times 10^-6 approx 1,984 times 10^8
Agora, multiplicando por epsilon0:
1,984 times 10^8 times 8,854 times 10^-12 approx 1,755 times 10^-3
Agora, calculando epsilonr:
epsilonr = 0,17731,755 times 10^-3 approx 101
Isso ainda não corresponde às opções fornecidas. Possivelmente, houve um erro na interpretação das fórmulas ou nos cálculos intermediários.

Passo 10

Vamos tentar uma abordagem diferente, usando a relação entre a diferença de fase e a permissividade relativa. Sabemos que:
tan(phi) = betaalpha
Já calculamos beta approx 0,1302 , m^-1 e alpha approx 0,4005 , m^-1.
Então:
tan(18^circ) = 0,13020,4005 approx 0,3249
Sabendo que:
epsilonr = omega^2 mu epsilon0beta^2 + alpha^2
Substituindo os valores:
epsilonr = (1,2566 times 10^7)^2 times 4pi times 10^-7 times 8,854 times 10^-12(0,1302)^2 + (0,4005)^2
Calculando o denominador:
(0,1302)^2 + (0,4005)^2 = 0,01693 + 0,1604 = 0,1773
Calculando o numerador:
(1,2566 times 10^7)^2 times 4pi times 10^-7 times 8,854 times 10^-12 approx 1,755 times 10^-3
Então:
epsilonr = 1,755 times 10^-30,1773 approx 9,9 times 10^-3
O que claramente está incorreto, indicando que houve um erro na fórmula aplicada. Vamos corrigir isso.

Passo 11

Vamos revisar a relação correta para epsilonr. Em um meio não magnético com perdas, a relação entre epsilonr, alpha e beta é dada por:
epsilonr = alpha^2 + beta^2omega^2 mu0 epsilon0
Vamos recalcular com essa fórmula.
Calculando o numerador:
alpha^2 + beta^2 = (0,4005)^2 + (0,1302)^2 = 0,1604 + 0,01693 = 0,1773 , m^-2
Calculando o denominador:
omega^2 mu0 epsilon0 = (1,2566 times 10^7)^2 times 4pi times 10^-7 times 8,854 times 10^-12 approx 1,755 times 10^-3
Então:
epsilonr = 0,17731,755 times 10^-3 approx 101
Ainda não corresponde às opções. Parece que estamos perdendo algum fator, possivelmente relacionado à unidade ou definição.

Passo 12

Percebo que há uma inconsistência nas unidades. Vamos verificar novamente as unidades envolvidas.
A pulsação omega tem unidades de rad/s, mu0 tem unidades de H/m (ou N/A²), e epsilon0 tem F/m. Ao multiplicar tudo, devemos obter uma unidade coerente para epsilonr, que é adimensional.
Vamos recalcular com mais precisão:
omega = 2pi times 2 times 10^6 = 1,2566 times 10^7 , rad/s
mu0 = 4pi times 10^-7 , H/m
epsilon0 = 8,854 times 10^-12 , F/m
Calculando o denominador:
omega^2 mu0 epsilon0 = (1,2566 times 10^7)^2 times 4pi times 10^-7 times 8,854 times 10^-12
Primeiro, omega^2:
(1,2566 times 10^7)^2 = 1,579 times 10^14 , rad^2/s^2
Multiplicando por mu0:
1,579 times 10^14 times 4pi times 10^-7 approx 1,579 times 10^14 times 1,2566 times 10^-6 approx 1,984 times 10^8
Multiplicando por epsilon0:
1,984 times 10^8 times 8,854 times 10^-12 approx 1,755 times 10^-3 , F/m
Agora, calculando epsilonr:
epsilonr = 0,17731,755 times 10^-3 approx 101
Isso ainda não coincide com as opções dadas, indicativo de que há um equívoco na abordagem ou nas fórmulas aplicadas.

Passo 13

Vamos tentar uma abordagem alternativa, utilizando a relação entre a constante dielétrica complexa e o fator de perda.
A constante dielétrica complexa pode ser escrita como:
epsilonc = epsilonr' - jepsilonr''
Onde epsilonr' é a parte real e epsilonr'' a parte imaginária.
A relação entre epsilonr' e epsilonr'' com alpha e beta pode ser expressa por:
epsilonr' = betaomega mu0
epsilonr'' = alphaomega mu0
Então, podemos calcular epsilonr usando epsilonr' = betaomega mu0.
Calculando epsilonr':
epsilonr' = 0,13021,2566 times 10^7 times 4pi times 10^-7 approx 0,13021,2566 times 10^7 times 1,2566 times 10^-6 approx 0,130215,749 approx 0,00827
Isso ainda não faz sentido, já que as opções estão na faixa de 600 a 800. Deve haver um erro fundamental na abordagem.

Passo 14

Considerando a dificuldade encontrada nas tentativas anteriores, a abordagem correta para encontrar a permissividade relativa em um meio com perdas é usar a relação entre o fator de qualidade e os parâmetros dados.
A diferença de fase phi está relacionada aos componentes real e imaginário da constante dielétrica:
tan(phi) = epsilonr''epsilonr'
Podemos também relacionar a atenuação e a fase à permissividade relativa:
epsilonr = raizepsilonr'^2 + epsilonr''^2
Dado que tan(phi) = epsilonr''epsilonr' = betaalpha, podemos escrever:
epsilonr'' = epsilonr' tan(phi)
Substituindo na expressão para epsilonr:
epsilonr = epsilonr' raiz1 + tan^2(phi) = epsilonr'cos(phi)
Agora, relacionando epsilonr' com omega, mu0, alpha e beta:
epsilonr' = alphaomega mu0
Substituindo na expressão de epsilonr:
epsilonr = alphaomega mu0 cos(phi)

Passo 15

Vamos agora calcular epsilonr com essa fórmula correta.
Dados:
alpha = 0,4005 , m^-1
omega = 1,2566 times 10^7 , rad/s
mu0 = 4pi times 10^-7 , H/m
phi = 18^circ Rightarrow cos(18^circ) approx 0,9511
Substituindo na fórmula:
epsilonr = 0,40051,2566 times 10^7 times 4pi times 10^-7 times 0,9511
Calculando o denominador:
1,2566 times 10^7 times 4pi times 10^-7 approx 1,2566 times 10^7 times 1,2566 times 10^-6 approx 15,749 times 10^0 = 15,749
Multiplicando por cos(18^circ):
15,749 times 0,9511 approx 14,966
Então:
epsilonr = 0,400514,966 approx 0,02676
Ainda não está alinhado com as opções fornecidas. Parece que há uma necessidade de reavaliar completamente a abordagem ou verificar se há informações adicionais necessárias.

Resposta

Nenhuma das opções fornecidas corresponde ao cálculo realizado. Recomenda-se revisar a abordagem ou os dados do exercício.

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