Uma onda plana de 2 MHz propaga em um material não magnético com perdas onde a amplitude é reduzida em a cada 1 metro. A diferença de fase entre os campos magnético e elétrico é de 18 graus. Encontre a permissividade elétrica relativa
do meio.
Escolha uma opção:
a.
650,6
○ b.
712,8
○
774,4
d.
688,5
e.
600,0
f.
571,8
g.
617,6
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma onda plana de 2 MHz que se propaga em um material não magnético que apresenta perdas, ou seja, sua amplitude diminui 33% a cada 1 metro. Além disso, a diferença de fase entre os campos magnético e elétrico é de 18 graus. Nosso objetivo aqui é descobrir a permissividade elétrica relativa, que é representada por , desse material.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de propagação de ondas em meios dissipativos, usar equações que relacionam a atenuação, frequência e diferença de fase aos parâmetros elétricos do meio.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a atenuação da onda. A questão diz que a amplitude é reduzida em 33% a cada 1 metro. Isso significa que, após 1 metro, a amplitude é 67% da original.
Matematicamente, podemos representar isso usando a expressão de decaimento exponencial da amplitude:
Onde:
é a amplitude após a distância ,
é a amplitude inicial,
é o coeficiente de atenuação.
Sabemos que , então podemos escrever:
Passo 3
Vamos resolver para o coeficiente de atenuação :
Dividindo ambos os lados por :
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para :
Então:
Passo 4
Agora, vamos relacionar a atenuação e a diferença de fase à permissividade elétrica relativa . Em um meio dissipativo não magnético, temos as seguintes relações:
Onde é a constante de propagação, é a atenuação e é a constante de fase. A relação entre e pode ser expressa pelo ângulo de diferença de fase :
Dado que , podemos calcular :
Passo 5
A constante de propagação também está relacionada à frequência e à permissividade do meio através da expressão:
omega^2 mu0 epsilon0 = (1,2566 times 10^7)^2 times 4pi times 10^-7 times 8,854 times 10^-12 approx 1,755 times 10^-3
Então:
epsilonr = 0,17731,755 times 10^-3 approx 101
Ainda não corresponde às opções. Parece que estamos perdendo algum fator, possivelmente relacionado à unidade ou definição.
Passo 12
Percebo que há uma inconsistência nas unidades. Vamos verificar novamente as unidades envolvidas.
A pulsação omega tem unidades de rad/s, mu0 tem unidades de H/m (ou N/A²), e epsilon0 tem F/m. Ao multiplicar tudo, devemos obter uma unidade coerente para epsilonr, que é adimensional.
Vamos recalcular com mais precisão:
omega = 2pi times 2 times 10^6 = 1,2566 times 10^7 , rad/s
mu0 = 4pi times 10^-7 , H/m
epsilon0 = 8,854 times 10^-12 , F/m
Calculando o denominador:
omega^2 mu0 epsilon0 = (1,2566 times 10^7)^2 times 4pi times 10^-7 times 8,854 times 10^-12
Primeiro, omega^2:
(1,2566 times 10^7)^2 = 1,579 times 10^14 , rad^2/s^2
Multiplicando por mu0:
1,579 times 10^14 times 4pi times 10^-7 approx 1,579 times 10^14 times 1,2566 times 10^-6 approx 1,984 times 10^8
Multiplicando por epsilon0:
1,984 times 10^8 times 8,854 times 10^-12 approx 1,755 times 10^-3 , F/m
Agora, calculando epsilonr:
epsilonr = 0,17731,755 times 10^-3 approx 101
Isso ainda não coincide com as opções dadas, indicativo de que há um equívoco na abordagem ou nas fórmulas aplicadas.
Passo 13
Vamos tentar uma abordagem alternativa, utilizando a relação entre a constante dielétrica complexa e o fator de perda.
A constante dielétrica complexa pode ser escrita como:
epsilonc = epsilonr' - jepsilonr''
Onde epsilonr' é a parte real e epsilonr'' a parte imaginária.
A relação entre epsilonr' e epsilonr'' com alpha e beta pode ser expressa por:
epsilonr' = 0,13021,2566 times 10^7 times 4pi times 10^-7 approx 0,13021,2566 times 10^7 times 1,2566 times 10^-6 approx 0,130215,749 approx 0,00827
Isso ainda não faz sentido, já que as opções estão na faixa de 600 a 800. Deve haver um erro fundamental na abordagem.
Passo 14
Considerando a dificuldade encontrada nas tentativas anteriores, a abordagem correta para encontrar a permissividade relativa em um meio com perdas é usar a relação entre o fator de qualidade e os parâmetros dados.
A diferença de fase phi está relacionada aos componentes real e imaginário da constante dielétrica:
tan(phi) = epsilonr''epsilonr'
Podemos também relacionar a atenuação e a fase à permissividade relativa:
epsilonr = raizepsilonr'^2 + epsilonr''^2
Dado que tan(phi) = epsilonr''epsilonr' = betaalpha, podemos escrever:
epsilonr = 0,40051,2566 times 10^7 times 4pi times 10^-7 times 0,9511
Calculando o denominador:
1,2566 times 10^7 times 4pi times 10^-7 approx 1,2566 times 10^7 times 1,2566 times 10^-6 approx 15,749 times 10^0 = 15,749
Multiplicando por cos(18^circ):
15,749 times 0,9511 approx 14,966
Então:
epsilonr = 0,400514,966 approx 0,02676
Ainda não está alinhado com as opções fornecidas. Parece que há uma necessidade de reavaliar completamente a abordagem ou verificar se há informações adicionais necessárias.
Resposta
Nenhuma das opções fornecidas corresponde ao cálculo realizado. Recomenda-se revisar a abordagem ou os dados do exercício.