Uma onda plana de 2 MHz propaga em um material não magnético com perdas onde a amplitude é reduzida em a cada 1 metro. A diferença de fase entre os campos magnético e elétrico é de 18 graus. Encontre a permissividade elétrica relativa
do meio.
Escolha uma opção:
a.
650,6
○ b.
712,8
○
774,4
d.
688,5
e.
600,0
f.
571,8
g.
617,6
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma onda plana de 2 MHz que se propaga em um material não magnético que apresenta perdas, ou seja, sua amplitude diminui 33% a cada 1 metro. Além disso, a diferença de fase entre os campos magnético e elétrico é de 18 graus. Nosso objetivo aqui é descobrir a permissividade elétrica relativa, que é representada por , desse material.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de propagação de ondas em meios dissipativos, usar equações que relacionam a atenuação, frequência e diferença de fase aos parâmetros elétricos do meio.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a atenuação da onda. A questão diz que a amplitude é reduzida em 33% a cada 1 metro. Isso significa que, após 1 metro, a amplitude é 67% da original.
Matematicamente, podemos representar isso usando a expressão de decaimento exponencial da amplitude:
Onde:
é a amplitude após a distância ,
é a amplitude inicial,
é o coeficiente de atenuação.
Sabemos que , então podemos escrever:
Passo 3
Vamos resolver para o coeficiente de atenuação :
Dividindo ambos os lados por :
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para :
Então:
Passo 4
Agora, vamos relacionar a atenuação e a diferença de fase à permissividade elétrica relativa . Em um meio dissipativo não magnético, temos as seguintes relações:
Onde é a constante de propagação, é a atenuação e é a constante de fase. A relação entre e pode ser expressa pelo ângulo de diferença de fase :
Dado que , podemos calcular :
Passo 5
A constante de propagação também está relacionada à frequência e à permissividade do meio através da expressão:
Onde:
,
(já que o material é não magnético),
.
Separando em partes real e imaginária, temos:
E
Mas para simplificar, podemos usar a relação .
Passo 6
Rearranjando a equação para encontrar :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isolando :
Sabemos que , então:
Passo 7
Agora, vamos calcular os valores:
Primeiro, a frequência:
A pulsação é:
Valores conhecidos:
Substituindo na fórmula de :
Passo 8
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 9
Parece que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos refazer os cálculos com mais atenção.
Primeiro, calculando o denominador corretamente:
Calculando :
Multiplicando por :
Agora, multiplicando por :
Agora, calculando :
Isso ainda não corresponde às opções fornecidas. Possivelmente, houve um erro na interpretação das fórmulas ou nos cálculos intermediários.
Passo 10
Vamos tentar uma abordagem diferente, usando a relação entre a diferença de fase e a permissividade relativa. Sabemos que:
Já calculamos e .
Então:
Sabendo que:
Substituindo os valores:
Calculando o denominador:
Calculando o numerador:
Então:
O que claramente está incorreto, indicando que houve um erro na fórmula aplicada. Vamos corrigir isso.
Passo 11
Vamos revisar a relação correta para . Em um meio não magnético com perdas, a relação entre , e é dada por:
Vamos recalcular com essa fórmula.
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então:
Ainda não corresponde às opções. Parece que estamos perdendo algum fator, possivelmente relacionado à unidade ou definição.
Passo 12
Percebo que há uma inconsistência nas unidades. Vamos verificar novamente as unidades envolvidas.
A pulsação tem unidades de rad/s, tem unidades de H/m (ou N/A²), e tem F/m. Ao multiplicar tudo, devemos obter uma unidade coerente para , que é adimensional.
Vamos recalcular com mais precisão:
Calculando o denominador:
Primeiro, :
Multiplicando por :
Multiplicando por :
Agora, calculando :
Isso ainda não coincide com as opções dadas, indicativo de que há um equívoco na abordagem ou nas fórmulas aplicadas.
Passo 13
Vamos tentar uma abordagem alternativa, utilizando a relação entre a constante dielétrica complexa e o fator de perda.
A constante dielétrica complexa pode ser escrita como:
Onde é a parte real e a parte imaginária.
A relação entre e com e pode ser expressa por:
Então, podemos calcular usando .
Calculando :
Isso ainda não faz sentido, já que as opções estão na faixa de 600 a 800. Deve haver um erro fundamental na abordagem.
Passo 14
Considerando a dificuldade encontrada nas tentativas anteriores, a abordagem correta para encontrar a permissividade relativa em um meio com perdas é usar a relação entre o fator de qualidade e os parâmetros dados.
A diferença de fase está relacionada aos componentes real e imaginário da constante dielétrica:
Podemos também relacionar a atenuação e a fase à permissividade relativa:
Dado que , podemos escrever:
Substituindo na expressão para :
Agora, relacionando com , , e :
Substituindo na expressão de :
Passo 15
Vamos agora calcular com essa fórmula correta.
Dados:
Substituindo na fórmula:
Calculando o denominador:
Multiplicando por :
Então:
Ainda não está alinhado com as opções fornecidas. Parece que há uma necessidade de reavaliar completamente a abordagem ou verificar se há informações adicionais necessárias.
Resposta
Nenhuma das opções fornecidas corresponde ao cálculo realizado. Recomenda-se revisar a abordagem ou os dados do exercício.