Uma onda eletromagnética tem um campo elétrico dado como a superposição de duas ondas, ou seja,
E=E0 cos (k z-omega t) i+E0 cos (k z+omega t) i
a) Determine a equação que descreve o campo magnético [B(x, y, z, t)] associado a esta onda.
b) Qual é a energia por unidade de área (vetor de Poynting) transportada por esta onda?
c) Qual é a média temporal do vetor de Poynting?

Passo 1

Então, vamos lá! A questão nos apresenta uma onda eletromagnética onde o campo elétrico é a superposição de duas ondas. A matéria aqui envolve ondas eletromagnéticas e conceitos como campos elétrico e magnético, além do vetor de Poynting que representa a energia transportada pela onda. Para resolver, vamos precisar saber como relacionar os campos elétrico e magnético em uma onda eletromagnética e como calcular o vetor de Poynting.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o campo elétrico dado:
E = E0 cos(k z - omega t) , i + E0 cos(k z + omega t) , i
Essas são duas ondas que se propagam na direção z, uma com fase k z - omega t e outra com k z + omega t. A superposição dessas duas ondas resulta em um campo oscilante.

Passo 3

Vamos simplificar o campo elétrico usando a identidade trigonométrica para a soma de cossenos:
cos A + cos B = 2 cos(A+B2) cos(A-B2)
Aplicando isso:
E = 2 E0 cos(k z) cos(omega t) , i
Isso mostra que o campo elétrico é uma onda de amplitude 2 E0 cos(k z) oscilando no tempo.

Passo 4

Agora, sabemos que em uma onda eletromagnética, os campos elétrico E e magnético B são perpendiculares e relacionados pela velocidade da luz c:
B = 1c k times E
Aqui, k é o vetor unitário na direção de propagação, que é z. Então, k times E nos dá a direção do campo magnético.

Passo 5

Calculando o campo magnético:
Como E está na direção x ( i) e k na direção z ( k),
k times i = j
Portanto,
B = 2 E0c cos(k z) cos(omega t) , j

Passo 6

Para calcular o vetor de Poynting S, que representa a energia por unidade de área transportada pela onda, usamos:
S = 1mu0 (E times B)
onde mu0 é a permeabilidade do vácuo.

Passo 7

Fazendo o produto vetorial E times B:
i times j = k
Então,
S = 1mu0 (2 E0 cos(k z) cos(omega t) , i times 2 E0c cos(k z) cos(omega t) , j) = 4 E0^2mu0 c cos^2(k z) cos^2(omega t) , k

Passo 8

A média temporal do vetor de Poynting lang<= S rang<= é encontrada calculando a média de cos^2(omega t) ao longo do tempo, que é 1/2. Assim:
lang<= S rang<= = 4 E0^2mu0 c cos^2(k z) cdot 12 , k = 2 E0^2mu0 c cos^2(k z) , k

Resposta

a) O campo magnético associado é B = 2 E0c cos(k z) cos(omega t) , j.
b) O vetor de Poynting é S = 4 E0^2mu0 c cos^2(k z) cos^2(omega t) , k.
c) A média temporal do vetor de Poynting é lang<= S rang<= = 2 E0^2mu0 c cos^2(k z) , k.

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