Uma onda harmônica unidimensional propaga-se numa corda com velocidade igual a 2,0 m / s. Um pequeno segmento (no limite, um segmento infinitesimal) qualquer da corda, enquanto essa onda o atravessa, possui deslocamento transversal máximo igual a 2,0 m e velocidade transversal máxima igual a 5,0 m / s.
Baseado nas informaçōes fornecidas no enunciado, determine uma possível função de onda, y(x, t), que descreva essa onda harmônica ( 1 0 , 0 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre ondas harmônicas que se movem numa corda. O enunciado nos dá a velocidade da onda, o deslocamento máximo e a velocidade transversal máxima de um ponto na corda. Nosso objetivo é encontrar uma função que descreva essa onda, chamada de $ y(x, t) $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ondas harmônicas, como amplitude, velocidade da onda e relações entre as grandezas que envolvem essas ondas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma onda harmônica unidimensional pode ser representada pela função:
y(x, t) = A sin(kx - omega t + phi)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude da onda (deslocamento máximo),
  • $ k $ é o número de onda,
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ \phi $ é a fase inicial.
No nosso caso, podemos considerar $ \phi = 0 $ para simplificar, já que o enunciado não fornece essa informação. Então, a função fica:
A

Passo 3

Sabemos que a velocidade da onda $ v $ está relacionada com $ \omega $ e $ k $ pela relação:
v
Queremos encontrar $ k $ e $ \omega $, então vamos precisar de outra relação. Também sabemos que a velocidade transversal máxima $ V_{max} $ está relacionada com $ \omega $ e $ A $ pela fórmula:
omega
Isso nos ajuda a encontrar $ \omega $.

Passo 4

Vamos usar a relação $ V_{max} = \omega A $ para encontrar $ \omega $:
Vmax = omega A

Passo 5

Agora que temos $ \omega = 2,5, rad/s $, podemos usar a relação da velocidade da onda para encontrar $ k $:
omega = 2,5, rad/s

Passo 6

Com os valores de $ A $, $ k $ e $ \omega $ conhecidos, podemos montar a função de onda:
A

Resposta

A função de onda que descreve a onda harmônica é:
y(x, t) = 2,0, m cdot sin(1,25, rad/m cdot x - 2,5, rad/s cdot t)

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