Uma onda harmônica unidimensional propaga-se numa corda com velocidade igual a
. Um pequeno segmento (no limite, um segmento infinitesimal) qualquer da corda, enquanto essa onda o atravessa, possui deslocamento transversal máximo igual a
e velocidade transversal máxima igual a
.
Baseado nas informaçōes fornecidas no enunciado, determine uma possível função de onda,
, que descreva essa onda harmônica (
pontos).
Baseado nas informaçōes fornecidas no enunciado, determine uma possível função de onda,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre ondas harmônicas que se movem numa corda. O enunciado nos dá a velocidade da onda, o deslocamento máximo e a velocidade transversal máxima de um ponto na corda. Nosso objetivo é encontrar uma função que descreva essa onda, chamada de $ y(x, t) $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ondas harmônicas, como amplitude, velocidade da onda e relações entre as grandezas que envolvem essas ondas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma onda harmônica unidimensional pode ser representada pela função:
Onde:
- $ A $ é a amplitude da onda (deslocamento máximo),
- $ k $ é o número de onda,
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ \phi $ é a fase inicial.
No nosso caso, podemos considerar $ \phi = 0 $ para simplificar, já que o enunciado não fornece essa informação. Então, a função fica:
Passo 3
Sabemos que a velocidade da onda $ v $ está relacionada com $ \omega $ e $ k $ pela relação:
Queremos encontrar $ k $ e $ \omega $, então vamos precisar de outra relação. Também sabemos que a velocidade transversal máxima $ V_{max} $ está relacionada com $ \omega $ e $ A $ pela fórmula:
Isso nos ajuda a encontrar $ \omega $.
Passo 4
Vamos usar a relação $ V_{max} = \omega A $ para encontrar $ \omega $:
Passo 5
Agora que temos $ \omega = 2,5, rad/s $, podemos usar a relação da velocidade da onda para encontrar $ k $:
Passo 6
Com os valores de $ A $, $ k $ e $ \omega $ conhecidos, podemos montar a função de onda:
Resposta
A função de onda que descreve a onda harmônica é: