Uma onda harmônica unidimensional propaga-se numa corda com velocidade igual a 2,0 m / s. Um pequeno segmento (no limite, um segmento infinitesimal) qualquer da corda, enquanto essa onda o atravessa, possui deslocamento transversal máximo igual a 2,0 m e velocidade transversal máxima igual a 5,0 m / s.
A função de onda encontrada no item c) é solução de uma equação de onda. Determine essa equação de onda ( 4,0 pontos).

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o que precisamos para resolvê-lo.
Enunciado Resumido:
Temos uma onda harmônica que se propaga em uma corda com velocidade de $ 2,0 , m/s $. Em um ponto qualquer da corda, o deslocamento transversal máximo é de $ 2,0 , m $ e a velocidade transversal máxima é de $ 5,0 , m/s $. Precisamos determinar a equação de onda que é solução da equação de onda geral.
Conteúdo da Matéria:
  • Equação de onda
  • Ondas harmônicas
  • Relação entre deslocamento, velocidade e aceleração em ondas
O que vamos precisar:
  • Fórmula geral da onda harmônica
  • Relações entre as derivadas temporais e espaciais para a equação de onda
  • Uso de fórmulas matemáticas em LaTeX para representar as equações

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma geral de uma onda harmônica unidimensional que se propaga ao longo de uma corda. A equação geral pode ser escrita como:
y(x, t) = A cos(kx - omega t + phi)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude da onda (deslocamento máximo)
  • $ k $ é o número de onda
  • $ \omega $ é a frequência angular
  • $ \phi $ é a fase inicial

Passo 3

Sabemos que a velocidade da onda $ v $ está relacionada com $ \omega $ e $ k $ pela relação:
v
Dado que a velocidade da onda é $ v = 2,0 , m/s $, podemos escrever:
omega

Passo 4

Vamos usar as informações sobre a velocidade transversal máxima para encontrar uma relação entre $ \omega $ e $ A $. A velocidade transversal $ v_y $ é a derivada do deslocamento $ y $ em relação ao tempo $ t $:
omega
A velocidade transversal máxima ocorre quando $ \sin(kx - \omega t + \phi) = 1 $, então:
A á
Dado que $ v_{y_{máx}} = 5,0 , m/s $ e $ A = 2,0 , m $, temos:
vy

Passo 5

Agora que temos $ \omega = 2,5 , rad/s $ e a relação $ \omega = 2,0 , k $ do Passo 3, podemos encontrar $ k $:
omega = 2,5 , rad/s

Passo 6

Com os valores de $ A = 2,0 , m $, $ k = 1,25 , rad/m $ e $ \omega = 2,5 , rad/s $, podemos escrever a função de onda:
A = 2,0 , m
Para simplificar, assumiremos que a fase inicial $ \phi = 0 $, já que não foi fornecida no enunciado:
k = 1,25 , rad/m

Passo 7

A equação de onda geral é dada por:
partial^2 ypartial x^2 = 1v^2 partial^2 ypartial t^2
Vamos calcular as derivadas necessárias para verificar se nossa função de onda satisfaz essa equação.
Primeiro, calculamos a segunda derivada em relação a $ x $:
x
partial ypartial x = -2,0 times 1,25 sin(1,25 , x - 2,5 , t)
Agora, a segunda derivada em relação a $ t $:
partial^2 ypartial x^2 = -2,0 times 1,25^2 cos(1,25 , x - 2,5 , t) = -2,0 times 1,5625 cos(1,25 , x - 2,5 , t) = -3,125 cos(1,25 , x - 2,5 , t)
t
Substituindo na equação de onda:
partial ypartial t = 2,0 times 2,5 sin(1,25 , x - 2,5 , t)
partial^2 ypartial t^2 = 2,0 times (-2,5)^2 cos(1,25 , x - 2,5 , t) = 2,0 times 6,25 cos(1,25 , x - 2,5 , t) = 12,5 cos(1,25 , x - 2,5 , t)
Observamos que os dois lados não coincidem, mas isso ocorre porque esquecemos do sinal na equação de onda. A equação correta é:
-3,125 cos(1,25 , x - 2,5 , t) = 1(2,0)^2 times 12,5 cos(1,25 , x - 2,5 , t)
Então:
-3,125 = 12,54 = 3,125
Isso indica que houve um erro de sinal na nossa função de onda. Vamos corrigir isso assumindo que a função de onda é:
partial^2 ypartial x^2 = 1v^2 partial^2 ypartial t^2
Calculando novamente as derivadas:
-3,125 = 12,54 Rightarrow -3,125 = 3,125
y(x, t) = 2,0 sin(1,25 , x - 2,5 , t)
Substituindo na equação de onda:
partial^2 ypartial x^2 = -2,0 times 1,25^2 sin(1,25 , x - 2,5 , t) = -3,125 sin(1,25 , x - 2,5 , t)
partial^2 ypartial t^2 = -2,0 times 2,5^2 sin(1,25 , x - 2,5 , t) = -12,5 sin(1,25 , x - 2,5 , t)
Agora a igualdade está correta, confirmando que nossa função de onda satisfaz a equação de onda.

Resposta

A equação de onda que satisfaz as condições do exercício é:
y(x, t) = 2,0 sin(1,25 , x - 2,5 , t)

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