Uma onda plana eletromagnética tem um campo elétrico que é paralelo ao eixo y e tem um vetor de Poynting dado por S(x, t)=(100) cos ^2(k x-omega t) imath( no SI), onde k=10,0 radm, e omega=3,00.10^9 rad / s. Determine os campos elétrico e magnético da onda como funções de x e t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma onda eletromagnética plana com um campo elétrico na direção y e um vetor de Poynting na direção x, dado por S(x, t) = 100 cos^2(k x - omega t) imath. Precisamos encontrar as expressões para os campos elétrico E(x, t) e magnético B(x, t) dessa onda. Vamos precisar usar conceitos de campos eletromagnéticos e a relação entre os campos elétrico e magnético em uma onda eletromagnética.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor de Poynting. Ele representa a densidade de fluxo de energia da onda eletromagnética e é dado por:
S = 1mu0 E times B
Onde:
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo.
  • E é o campo elétrico.
  • B é o campo magnético.
No nosso caso, sabemos que S está na direção x e E está na direção y. Isso significa que B deve estar na direção z para que o produto vetorial E times B dê um vetor na direção x.

Passo 3

Sabemos que em uma onda eletromagnética plana, os campos elétrico e magnético estão relacionados pela velocidade da luz c, onde:
B = Ec
Isso porque c = 1raizmu0 epsilon0, onde epsilon0 é a permissividade do vácuo. Essa relação nos ajuda a conectar os dois campos.

Passo 4

Vamos agora expressar os campos elétrico e magnético como funções de x e t. Sabemos que eles são harmônicos e propagam na direção x, então podemos escrevê-los da seguinte forma:
E(x, t) = E0 cos(kx - omega t) jmath
B(x, t) = B0 cos(kx - omega t) k
Aqui, E0 e B0 são as amplitudes dos campos elétrico e magnético, respectivamente.

Passo 5

Agora, vamos usar a expressão do vetor de Poynting para relacionar E0 e B0. Substituindo E e B na expressão do vetor de Poynting:
S = 1mu0 E times B = 1mu0 E0 B0 cos^2(kx - omega t) imath
Comparando com a expressão dada no problema:
100 cos^2(kx - omega t) imath = 1mu0 E0 B0 cos^2(kx - omega t) imath
Podemos cancelar cos^2(kx - omega t) dos dois lados e resolver para E0 B0:
E0 B0 = 100 mu0

Passo 6

Usando a relação entre E0 e B0 que mencionamos antes ( B0 = E0c), substituímos na equação E0 B0 = 100 mu0:
E0 (E0c) = 100 mu0
Simplificando:
E0^2c = 100 mu0
Resolvendo para E0:
E0 = raiz100 mu0 c

Passo 7

Agora, vamos calcular E0 numéricamente. Sabemos que:
  • mu0 = 4pi times 10^-7 , Tcdotm/A
  • c = 3 times 10^8 , m/s
Substituindo:
E0 = raiz100 times 4pi times 10^-7 times 3 times 10^8 E0 = raiz100 times 4pi times 3 times 10^1 E0 = raiz1200pi E0 approx raiz3769.911 E0 approx 61.4 , V/m
Então:
B0 = E0c = 61.43 times 10^8 approx 2.05 times 10^-7 , T

Resposta

Os campos elétrico e magnético da onda são dados por:
E(x, t) = 61.4 cos(10,x - 3 times 10^9 t) jmath , V/m
B(x, t) = 2.05 times 10^-7 cos(10,x - 3 times 10^9 t) k , T

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