Uma onda plana uniforme de 100 MHz se propaga num meio sem perdas para o qual epsilonr=5, mur=1. Calcule: (a) velocidade de propagação; (b) beta; © lambda; (d) E fasorial com polarização em x ;(e) a impedância intrínseca do meio e o H fasorial.

Passo 1

Então, vamos lá! O que a questão está pedindo? Temos uma onda plana uniforme de frequência 100 MHz que se propaga num meio sem perdas. As propriedades desse meio são dadas por epsilonr = 5 (permitividade relativa) e mur = 1 (permeabilidade relativa). A matéria que vamos precisar aqui é de eletromagnetismo, mais especificamente sobre ondas eletromagnéticas em meios materiais. Vamos precisar usar fórmulas que relacionam a frequência, a velocidade de propagação, o comprimento de onda, a constante de propagação beta, a impedância intrínseca do meio e os campos elétrico e magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade de propagação da onda no meio. A velocidade de uma onda em um meio material é dada por:
v = craizepsilonr mur
Onde c é a velocidade da luz no vácuo, aproximadamente 3 times 10^8 m/s. Aqui, epsilonr = 5 e mur = 1. Então, substituindo na fórmula:
v = 3 times 10^8raiz5 times 1 = 3 times 10^8raiz5 approx 3 times 10^82,236 approx 1,342 times 10^8 m/s

Passo 3

Agora, vamos calcular a constante de propagação beta. Essa constante está relacionada com o comprimento de onda e a velocidade de propagação. A fórmula para beta é:
beta = 2pilambda = omega raizmu epsilon
Mas uma forma mais direta usando a velocidade é:
beta = omegav
Primeiro, precisamos converter a frequência para a frequência angular omega:
omega = 2pi f = 2pi times 100 times 10^6 approx 6,283 times 10^8 rad/s
Agora, usando a velocidade v approx 1,342 times 10^8 m/s:
beta = 6,283 times 10^81,342 times 10^8 approx 4,68 rad/m

Passo 4

Vamos agora determinar o comprimento de onda lambda. Sabemos que a velocidade v está relacionada com a frequência f e o comprimento de onda pela fórmula:
v = f lambda
Rearranjando para lambda:
lambda = vf
Substituindo os valores que já temos:
lambda = 1,342 times 10^8100 times 10^6 = 1,342 times 10^81 times 10^8 = 1,342 metros

Passo 5

Agora, vamos encontrar o campo elétrico fasorial E com polarização em x. Para uma onda plana, o campo elétrico pode ser expresso como:
E(x, t) = x E0 e^j(omega t - beta x)
Aqui, x indica que a polarização está na direção x, E0 é a amplitude do campo elétrico, j é a unidade imaginária, omega é a frequência angular e beta é a constante de propagação que já calculamos. Portanto, o campo elétrico fasorial é:
E = x E0 e^j(omega t - beta x)

Passo 6

Por último, vamos calcular a impedância intrínseca do meio e o campo magnético fasorial H. A impedância intrínseca eta é dada por:
Onde eta = raizmuepsilon = raizmu0 murepsilon0 epsilonr = eta0raizepsilonr/mur Ω é a impedância do vácuo. Com eta0 approx 377 e epsilonr = 5:
mur = 1
O campo magnético fasorial eta = 377raiz5 approx 377 / 2,236 approx 168,4 Ω está relacionado com o campo elétrico pela impedância intrínseca:
H
Substituindo H = Eeta Ω:
eta approx 168,4

Resposta

(a) Velocidade de propagação v approx 1,342 times 10^8 m/s;
(b) Constante de propagação beta approx 4,68 rad/m;
© Comprimento de onda lambda approx 1,342 metros;
(d) Campo elétrico fasorial E = x E0 e^j(omega t - beta x) com polarização em x;
(e) Impedância intrínseca do meio eta approx 168,4 Ω e campo magnético fasorial H = x E0168,4 e^j(omega t - beta x).

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