Devido a variações de temperatura, pressão e salinidade, a densidade da água do mar aumenta com a profundidade h segundo a lei rho=rho0+c h, onde rho0 é a densidade na superfície e c é uma constante positiva. Determine a pressão p em função da profundidade h. Resposta : p=p0+rho0 g h+g c h^2 / 2.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que fala sobre como a densidade da água do mar muda com a profundidade e como isso afeta a pressão. O conteúdo principal aqui é a hidrostática, que estuda a pressão em fluidos em equilíbrio. Para resolver, vamos precisar entender como a densidade varia com a profundidade e como calcular a pressão a partir dessa variação.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a densidade da água do mar aumenta com a profundidade segundo a fórmula:
rho = rho0 + c h
onde:
  • é a densidade a uma profundidade ,
  • é a densidade na superfície,
  • é uma constante positiva.
Isso significa que conforme você desce mais fundo, a água fica mais densa.

Passo 3

Para encontrar a pressão p = p0 + integral0^h rho(g) , dg em função da profundidade , usamos a relação da pressão hidrostática. A pressão em um ponto dentro de um fluido em equilíbrio é dada pela soma da pressão atmosférica e a pressão exercida pela coluna de fluido acima desse ponto:
onde é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Substituímos a densidade p = p0 + integral0^h (rho0 + c h') , g , dh' pela expressão dada:
Aqui, é uma variável de integração que representa a profundidade variável.

Passo 5

Agora, resolvemos a integral:
p = p0 + g integral0^h rho0 , dh' + g integral0^h c h' , dh'
p = p0 + g rho0 h + g c h^22

Resposta

A pressão em função da profundidade p = p0 + rho0 g h + g c h^22 é:

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