(a) Usando como modelo para a roda um anel delgado, de massa m e raio R, qual é a frequência angular omega para pequenas oscilações do sistema em termos de m, R, r e da constante elástica k ? Qual é o valor de omega para

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício onde modelamos uma roda como um anel delgado com massa e raio . A pergunta quer saber qual é a frequência angular para pequenas oscilações desse sistema, usando os valores de , , e a constante elástica . Nosso objetivo aqui é descobrir uma fórmula para usando esses parâmetros.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a frequência angular está relacionada ao movimento oscilatório do sistema. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre oscilações e momentos de inércia.

Passo 3

Vamos começar calculando o momento de inércia I = m R^2 do anel delgado. O momento de inércia é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para um anel delgado, a fórmula é:
Onde:
  • é a massa do anel
  • é o raio do anel

Passo 4

Agora, precisamos relacionar isso com a constante elástica krot = k times r e a distância . A constante elástica em rotações pode ser pensada como uma “constante de mola” para movimentos angulares. Quando a mola está conectada a uma distância do eixo, a constante efetiva para o torque fica:

Passo 5

A frequência angular omega = raizkrotI para pequenas oscilações em sistemas rotacionais é dada por:
omega = raizk times rm R^2
Substituindo os valores que já encontramos:

Resposta

Portanto, a frequência angular omega = raizk , rm R^2 para pequenas oscilações do sistema é:

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